有人在Quake III的源代碼裡面發現這麼一段用來求平方根的代碼:
/*================SquareRootFloat================*/
float SquareRootFloat(float number) {
long i;
float x, y;
const float f = 1.5F;
x = number * 0.5F;
y = number;
i = * ( long * ) &y;
i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); //注意這一行
y = * ( float * ) &i;
y = y * ( f - ( x * y * y ) );
y = y * ( f - ( x * y * y ) );
return number * y;
}
x5f3759df？ 這是個什麼東西？ 學過數值分析就知道，算法裡面求平方根一般采用
的是無限逼近的方法，比如牛頓迭代法，抱歉當年我數值分析學的太爛，也講不清楚
。簡單來說比如求5的平方根，選一個猜測值比如2，那麼我們可以這麼算
/2 = 2.5; 2.5+2/2 = 2.25; 5/2.25 = xxx; 2.25+xxx/2 = xxxx ...
這樣反復迭代下去，結果必定收斂於sqrt(5)，沒錯，一般的求平方根都是這麼算的
。而卡馬克的不同之處在於，他選擇了一個神秘的猜測值0x5f3759df作為起始，使得
整個逼近過程收斂速度暴漲，對於Quake III所要求的精度10的負三次方，只需要一
次迭代就能夠得到結果。
好吧，如果這還不算牛b，接著看。
普渡大學的數學家Chris Lomont看了以後覺得有趣，決定要研究一下卡馬克弄出來的
這個猜測值有什麼奧秘。Lomont也是個牛人，在精心研究之後從理論上也推導出一個
最佳猜測值，和卡馬克的數字非常接近, 0x5f37642f。卡馬克真牛，他是外星人嗎？
傳奇並沒有在這裡結束。Lomont計算出結果以後非常滿意，於是拿自己計算出的起始
值和卡馬克的神秘數字做比賽，看看誰的數字能夠更快更精確的求得平方根。結果是
卡馬克贏了... 誰也不知道卡馬克是怎麼找到這個數字的。
最後Lomont怒了，采用暴力方法一個數字一個數字試過來，終於找到一個比卡馬克數
字要好上那麼一丁點的數字，雖然實際上這兩個數字所產生的結果非常近似，這個暴
力得出的數字是0x5f375a86。
Lomont為此寫下一篇論文，"Fast Inverse Square Root"。
我把這個函數用C#就行了一下改寫：
代碼如下：
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Text;
namespace ConsoleApplication1
{
class Program
{
static void Main(string[] args)
{
Console.WriteLine("Carmark's method:");
Console.WriteLine(SquareRootFloat(3.0f).ToString());
Console.WriteLine("Use Math.Sqrt() method:");
Console.WriteLine(((float)Math.Sqrt(3.0)).ToString());
Console.Read();
}
private static float SquareRootFloat(float number)
{
long i;
float x, y;
const float f = 1.5F;
x = number * 0.5F;
y = number;
unsafe
{
i = * ( long * ) &y;
i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); //注意這一行
y = * ( float * ) &i;
}
y = y * ( f - ( x * y * y ) );
y = y * ( f - ( x * y * y ) );
return number * y;
}
}
}
第32、33行用了兩次牛頓迭代法，以達到一定的精度，當然你也可以自己控制精度，求出來的是y的平方根的倒數，所以最後返回為number*y.
SquareRootFloat函數最關鍵的一句就是 i=0x5f3759df-(i>>1);
以下是對它的部分解釋：
牛頓迭代法最關鍵的地方在於估計第一個近似根。如果該近似根與真根足夠靠近的話,那麼只需要少數幾次迭代,就可以得到滿意的解。
接著,我們要設法估計第一個近似根。這也是上面的函數最神奇的地方。它通過某種方法算出了一個與真根非常接近的近似根,因此它只需要使用一次迭代過程就獲得了較滿意的解。它是怎樣做到的呢？所有的奧妙就在於這一行：
i = 0x5f3759df - (i >> 1); // 計算第一個近似根
超級莫名其妙的語句,不是嗎？但仔細想一下的話,還是可以理解的：float類型的數據在32位系統上是這樣表示的。
bits：31 30 ... 031：符號位30-23：共8位,保存指數（E）22-0：共23位,保存尾數（M）
所以,32位的浮點數用十進制實數表示就是：M*2^E。開根然後倒數就是：M^(-1/2)*2^(-E/2)。現在就十分清晰了。語句i>>1其工作就是將指數除以2,實現2^(E/2)的部分。而前面用一個常數減去它,目的就是得到M^(1/2)同時反轉所有指數的符號。
