函數的遞歸調用
一個函數在它的函數體內調用它自身稱為遞歸調用。 這種函數稱為遞歸函數。C語言允許函數的遞歸調用。在遞歸調用中， 主調函數又是被調函數。執行遞歸函數將反復調用其自身。 每調用一次就進入新的一層。例如有函數f如下：
int f (int x)
{
int y;
z=f(y);
return z;
}
這個函數是一個遞歸函數。 但是運行該函數將無休止地調用其自身，這當然是不正確的。為了防止遞歸調用無終止地進行， 必須在函數內有終止遞歸調用的手段。常用的辦法是加條件判斷， 滿足某種條件後就不再作遞歸調用，然後逐層返回。 下面舉例說明遞歸調用的執行過程。
[例5.9]用遞歸法計算n!用遞歸法計算n!可用下述公式表示：
n!=1 (n=0,1)
n×(n-1)! (n>1)
按公式可編程如下：
long ff(int n)
{
long f;
if(n<0) printf("n<0,input error");
else if(n==0||n==1) f=1;
else f=ff(n-1)*n;
return(f);
}
main()
{
int n;
long y;
printf("\ninput a inteager number:\n");
scanf("%d",&n);
y=ff(n);
printf("%d!=%ld",n,y);
}
long ff(int n)
{ ……
else f=ff(n-1)*n;
……
}
main()
{ ……
y=ff(n);
……
}
程序中給出的函數ff是一個遞歸函數。主函數調用ff 後即進入函數ff執行，如果n<0,n==0或n=1時都將結束函數的執行，否則就遞歸調用ff函數自身。由於每次遞歸調用的實參為n-1，即把n-1 的值賦予形參n，最後當n-1的值為1時再作遞歸調用，形參n的值也為1，將使遞歸終止。然後可逐層退回。下面我們再舉例說明該過程。 設執行本程序時輸入為5， 即求 5!。在主函數中的調用語句即為y=ff(5)，進入ff函數後，由於n=5,不等於0或1，故應執行f=ff(n-1)*n,即f=ff(5-1)*5。該語句對ff作遞歸調用即ff(4)。 逐次遞歸展開如圖5.3所示。進行四次遞歸調用後，ff函數形參取得的值變為1，故不再繼續遞歸調用而開始逐層返回主調函數。ff(1)的函數返回值為1，ff(2)的返回值為1*2=2，ff(3)的返回值為2*3=6，ff(4) 的返回值為6*4=24，最後返回值ff(5)為24*5=120。
例5. 9也可以不用遞歸的方法來完成。如可以用遞推法，即從1開始乘以2，再乘以3…直到n。遞推法比遞歸法更容易理解和實現。但是有些問題則只能用遞歸算法才能實現。典型的問題是Hanoi塔問題。
[例5.10]Hanoi塔問題
一塊板上有三根針，A，B，C。A針上套有64個大小不等的圓盤， 大的在下，小的在上。如圖5.4所示。要把這64個圓盤從A針移動C針上，每次只能移動一個圓盤，移動可以借助B針進行。但在任何時候，任何針上的圓盤都必須保持大盤在下，小盤在上。求移動的步驟。
本題算法分析如下，設A上有n個盤子。
如果n=1，則將圓盤從A直接移動到C。
如果n=2，則：
1.將A上的n-1(等於1)個圓盤移到B上；
2.再將A上的一個圓盤移到C上；
3.最後將B上的n-1(等於1)個圓盤移到C上。
如果n=3，則：
A. 將A上的n-1(等於2，令其為n`)個圓盤移到B(借助於C)，
步驟如下：
(1)將A上的n`-1(等於1)個圓盤移到C上，見圖5.5(b)。
(2)將A上的一個圓盤移到B，見圖5.5(c)
(3)將C上的n`-1(等於1)個圓盤移到B，見圖5.5(d)
B. 將A上的一個圓盤移到C，見圖5.5(e)
C. 將B上的n-1(等於2，令其為n`)個圓盤移到C(借助A)，
步驟如下：
(1)將B上的n`-1(等於1)個圓盤移到A，見圖5.5(f)
(2)將B上的一個盤子移到C，見圖5.5(g)
(3)將A上的n`-1(等於1)個圓盤移到C，見圖5.5(h)。
到此，完成了三個圓盤的移動過程。
從上面分析可以看出，當n大於等於2時， 移動的過程可分解為三個步驟：
第一步 把A上的n-1個圓盤移到B上；
第二步 把A上的一個圓盤移到C上；
第三步 把B上的n-1個圓盤移到C上；其中第一步和第三步是類同的。
當n=3時，第一步和第三步又分解為類同的三步，即把n`-1個圓盤從一個針移到另一個針上，這裡的n`=n-1。 顯然這是一個遞歸過
程，據此算法可編程如下：
move(int n,int x,int y,int z)
{
if(n==1)
printf("%c-->%c\n",x,z);
else
{
move(n-1,x,z,y);
printf("%c-->%c\n",x,z);
move(n-1,y,x,z);
}
}
main()
{
int h;
printf("\ninput number:\n");
scanf("%d",&h);
printf("the step to moving %2d diskes:\n",h);
move(h,'a','b','c');
}
move(int n,int x,int y,int z)
{
if(n==1)
printf("%-->%c\n",x,z);
else
{
move(n-1,x,z,y);
printf("%c-->%c\n",x,z);
move(n-1,y,x,z);
}
}
main()
{ ……
move(h,'a','b','c');
}
從程序中可以看出,move函數是一個遞歸函數，它有四個形參n,x,y,z。n表示圓盤數，x,y,z分別表示三根針。move 函數的功能是把x上的n個圓盤移動到z 上。當n==1時，直接把x上的圓盤移至z上，輸出x→z。如n!=1則分為三步：遞歸調用move函數，把n-1個圓盤從x移到y；輸出x→z；遞歸調用move函數，把n-1個圓盤從y移到z。在遞歸調用過程中n=n-1，故n的值逐次遞減，最後n=1時，終止遞歸，逐層返回。當n=4 時程序運行的結果為
input number:
4
the step to moving 4 diskes:
a→b
a→c
b→c
a→b
c→a
c→b
a→b
a→c
b→c
b→a
c→a
b→c
a→b
a→c
b→c
