poj 2480 Longge's problem 積性函數性質+歐拉函數

poj 2480 Longge's problem 積性函數性質+歐拉函數

題意：

求f(n)=∑gcd(i, N) 1<=i <=N.

分析：

f(n)是積性的數論上有證明（f(n)=sigma{1<=i<=N} gcd(i,N) = sigma{d | n}phi(n / d) * d ，後者是積性函數）,可以這麼解釋：當d是n的因子時，設1至n內有a1,a2,..ak滿足gcd(n,ai)==d,那麼d這個因子貢獻是d*k,接下來證明k=phi(n/d):設gcd(x,n)==d,那麼gcd(x/d,n/d)==1，所以滿足條件的x/d數目為phi(n/d),x的數目也為phi(n/d)。

代碼：

//poj 2480
//sep9
/*
f(pi^ai) =  Φ（pi^ai）+pi*Φ（pi^(ai-1)）+pi^2*Φ（pi^(ai-2)）+...+pi^(ai-1)* Φ（pi）+ pi^ai *Φ（1）
     = pi^(ai-1)*(pi-1) + pi*pi^(ai-2)*(pi-1)....+pi^ai
     =  pi^ai*(1+ai*(1-1/pi))
f(n) = p1^a1*p2^a2...*pr^ar*(1+a1*(1-1/p1))*(1+a2*(1-1/p2))*...
       =  n*(1+a1*(1-1/p1))*(1+a2*(1-1/p2))*...

*/
#include 
using namespace std;
typedef long long ll;

int main()
{
	ll n;
	while(scanf("%lld",&n)==1){
		ll ans=n;
		for(ll i=2;i*i<=n;++i){
			if(n%i==0){
				ll a=0,p=i;
				while(n%p==0){
					++a;
					n/=p;
				}
				ans=ans+ans*a*(p-1)/p;
			} 
		}
		if(n!=1)
			ans=ans+ans*(n-1)/n;
		printf("%I64d\n",ans);
	}	
	return 0;	
}