二叉樹迭代器算法

二叉樹(Binary Tree)的前序、中序和後續遍歷是算法和數據結構中的基本問題，基於遞歸的二叉樹遍歷算法更是遞歸的經典應用。

假設二叉樹結點定義如下：

struct Node { 
    int value; 
    Node *left; 
    Node *right; 
} 

void inorder_traverse(Node *node) { 
    if (NULL != node->left) { 
        inorder_traverse(node->left); 
    } 
    do_something(node); 
    if (NULL != node->right) { 
        inorder_traverse(node->right); 
    } 
} 
 

前序和後序遍歷算法類似。

但是，僅有遍歷算法是不夠的，在許多應用中，我們還需要對遍歷本身進行抽象。假如有一個求和的函數sum，我們希望它能應用於鏈表，數組，二叉樹等等不同的數據結構。這時，我們可以抽象出迭代器(Iterator)的概念，通過迭代器把算法和數據結構解耦了，使得通用算法能應用於不同類型的數據結構。我們可以把sum函數定義為：

int sum(Iterator it) 

鏈表作為一種線性結構，它的迭代器實現非常簡單和直觀，而二叉樹的迭代器實現則不那麼容易，我們不能直接將遞歸遍歷轉換為迭代器。究其原因，這是因為二叉 樹遞歸遍歷過程是編譯器在調用棧上自動進行的，程序員對這個過程缺乏足夠的控制。既然如此，那麼我們如果可以自己來控制整個調用棧的進棧和出棧不是就達到 控制的目的了嗎？我們先來看看二叉樹遍歷的非遞歸算法：

void inorder_traverse_nonrecursive(Node *node) { 
    Stack stack; 
    do { 
        // node代表當前准備處理的子樹，層層向下把左孩子壓棧，對應遞歸算法的左子樹遞歸 
        while (NULL != node) { 
            stack.push(node); 
            node = node->left; 
        } 
        do { 
            Node *top = stack.top(); 
            stack.pop(); //彈出棧頂，對應遞歸算法的函數返回 
            do_something(top); 
            if (NULL != top->right) { 
                node = top->right; //將當前子樹置為剛剛遍歷過的結點的右孩子，對應遞歸算法的右子樹遞歸 
                break; 
            } 
        } 
        while (!stack.empty()); 
    } 
    while (!stack.empty()); 
} 

通過基於棧的非遞歸算法我們獲得了對於遍歷過程的控制，下面我們考慮如何將其封裝為迭代器呢？ 這裡關鍵在於理解遍歷的過程是由棧的狀態來表示的，所以顯然迭代器內部應該包含一個棧結構，每次迭代的過程就是對棧的操作。假設迭代器的接口為：

class Iterator { 
    public: 
        virtual Node* next() = 0; 
}; 

下面是一個二叉樹中序遍歷迭代器的實現：

class InorderIterator : public Iterator { 
    public: 
        InorderIterator(Node *node) { 
            Node *current = node; 
            while (NULL != current) { 
                mStack.push(current); 
                current = current->left; 
            } 
        } 
        virtual Node* next() { 
            if (mStack.empty()) { 
                return NULL; 
            } 
            Node *top = mStack.top(); 
            mStack.pop(); 
            if (NULL != top->right) { 
                Node *current = top->right; 
                while (NULL != current) { 
                    mStack.push(current); 
                    current = current->left; 
                } 
            } 
            return top; 
         } 
    private: 
        std::stack<Node*> mStack; 
}; 

下面我們再來考察一下這個迭代器實現的時間和空間復雜度。很顯然，由於棧中最多需要保存所有的結點，所以其空間復雜度是O(n)的。那麼時間復雜度 呢？一次next()調用也最多會進行n次棧操作，而整個遍歷過程需要調用n次next()，那麼是不是整個迭代器的時間復雜度就是O(n^2)呢？答案 是否定的！因為每個結點只會進棧和出棧一次，所以整個迭代過程的時間復雜度依然為O(n)。其實，這和遞歸遍歷的時空復雜度完全一樣。

除了上面顯式利用棧控制代碼執行順序外，在支持yield語義的語言C#, Python等)中，還有更為直接的做法。下面基於yield的二叉樹中序遍歷的Python實現：

// Python 
def inorder(t): 
    if t: 
        for x in inorder(t.left): 
            yield x 
        yield t.label 
        for x in inorder(t.right): 
            yield x 

yield與return區別的一種通俗解釋是yield返回時系統會保留函數調用的狀態，下次該函數被調用時會接著從上次的執行點繼續執行，這是一種與 棧語義所完全不同的流程控制語義。我們知道Python的解釋器是C寫的，但是C並不支持yield語義，那麼解釋器是如何做到對yield的支持的呢？ 有了上面把遞歸遍歷變換為迭代遍歷的經驗，相信你已經猜到Python解釋器一定是對yield代碼進行了某種變換。如果你已經能夠實現遞歸變非遞歸，不 妨嘗試一下能否寫一段編譯程序將yield代碼變換為非yield代碼。