AOE網中關鍵路徑的一般求法

預備知識

1、由於整個工程只有一個開始點，一個結束點，故在正常情況下（無環），網中只有一個入度為0的點和一個出度為0的點。

2、與AOV網不同，AOE網中有些活動可以並行的進行，所以完成工程的最短時間是從開始點到完成點的最長路徑的長度。路徑長度最長的路徑叫做關鍵路徑。

擴展閱讀

由於在嚴蔚敏的《數據結構》中有詳細的證明過程，我就不贅述啦，這裡我只給出具體實現的代碼。

[cpp] 
#include <iostream> 
#include <cstdlib> 
#include <cstdio> 
#include <cstring> 
#include <queue> 
#include <stack> 
using namespace std; 
 
const int MAXN = 1010; 
const int MAXM = 10010; 
 
struct Edge 
{ 
    int v, w; 
    int id; 
    int next; 
}edge[MAXM]; 
 
int n, m; 
int cnt; 
 
int first[MAXN], topo[MAXN]; 
int ind[MAXN], outd[MAXN]; 
int tot; 
int Ee[MAXN], El[MAXN], E[MAXN], L[MAXN]; 
/*Ee表示事件最早可能發生時間，El表示事件最遲允許發生時間*/ 
/*E表示活動最早可能發生時間，L表示活動最遲允許發生時間*/ 
 
void init() 
{ 
    cnt = 0; 
    tot = 0; 
    memset(first, -1, sizeof(first)); 
    memset(ind, 0, sizeof(ind)); 
    memset(outd, 0, sizeof(outd)); 
    memset(Ee, 0, sizeof(Ee)); 
    memset(E, 0, sizeof(E)); 
    memset(L, 0, sizeof(L)); 
} 
 
void read_graph(int u, int v, int w, int id) 
{ 
    edge[cnt].v = v, edge[cnt].w = w, edge[cnt].id = id; 
    edge[cnt].next = first[u], first[u] = cnt++; 
} 
 
void toposort() //拓撲排序  
{ 
    queue<int> q; 
    for(int i = 0; i < n; i++) if(!ind[i]) q.push(i); 
    while(!q.empty()) 
    { 
        int x = q.front(); q.pop(); 
        topo[++tot] = x; 
        for(int e = first[x]; e != -1; e = edge[e].next) 
        { 
            int v = edge[e].v, w = edge[e].w; 
            if(--ind[v] == 0) q.push(v); 
            if(Ee[v] < Ee[x] + w) //求出各個頂點Ee值  
            { 
                Ee[v] = Ee[x] + w; 
            } 
        } 
    } 
} 
 
void CriticalPath() 
{ 
    toposort(); 
    int top = tot; 
    for(int i = 0; i < n; i++) El[i] = Ee[n-1]; //初始化頂點事件的最遲發生時間  
    while(top) //逆拓撲排序求頂點El的值  
    { 
        int x = topo[top--]; 
        for(int e = first[x]; e != -1; e = edge[e].next) 
        { 
            int v = edge[e].v, w = edge[e].w; 
            if(El[x] > El[v] - w) 
            { 
                El[x] = El[v] - w; 
            } 
        } 
    } 
    for(int u = 0; u < n; u++) //求出E,L關鍵活動  
    { 
        for(int e = first[u]; e != -1; e = edge[e].next) 
        { 
            int v = edge[e].v, id = edge[e].id, w = edge[e].w; //id代表活動的標號  
            E[id] = Ee[u], L[id] = El[v] - w; 
            if(E[id] == L[id]) //相等一定是關鍵活動  
            { 
                printf("a%d : %d->%d\n", id, u, v); 
            } 
        } 
    } 
} 
 
void read_case() 
{ 
    init(); 
    for(int i = 1; i <= m; i++) 
    { 
        int u, v, w; 
        scanf("%d%d%d", &u, &v, &w); 
        read_graph(u, v, w, i); //read_graph 
        outd[u]++, ind[v]++; 
    } 
} 
 
int main() 
{ 
    while(~scanf("%d%d", &n, &m)) 
    { 
        read_case(); 
        printf("\nThe Critical activities are:\n"); 
        CriticalPath(); 
    } 
    return 0; 
} 
 
 
/*
input :
9 11
0 1 6
0 2 4
0 3 5
1 4 1
2 4 5
3 5 2
4 6 9
4 7 7
5 7 4
6 8 2
7 8 4
*/ 
 
/*
output:
a2 : 0->2  //a1 : 0->1
a5 : 2->4 //a4 : 1->4
a8 : 4->7
a7 : 4->6
a10 : 6->8
a11 : 7->8
*/