約瑟夫問題

問題描述：n個人（編號0~(n-1）），從0開始報數，報到（m-1）的退出，剩下的人繼續從0開始報數。求勝利者的編號。

我們知道第一個人（編號一定是（m-1） mod n) 出列之後，剩下的n-1個人組成了一個新的約瑟夫環（以編號為k=m mod n的人開始）：
k k+1 k+2 ... n-2,n-1,0,1,2,... k-2
並且從k開始報0。
現在我們把他們的編號做一下轉換：
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
變換後就完完全全成為了（n-1）個人報數的子問題，假如我們知道這個子問題的解：例如x是最終的勝利者，那麼根據上面這個表把這個x變回去不剛好就是n個人情況的解嗎？！！變回去的公式很簡單，相信大家都可以推出來：x'=(x+k) mod n
如何知道（n-1）個人報數的問題的解？對，只要知道（n-2）個人的解就行了。（n-2）個人的解呢？當然是先求（n-3）的情況 ---- 這顯然就是一個倒推問題！好了，思路出來了，下面寫遞推公式：
令f表示i個人玩游戲報m退出最後勝利者的編號，最後的結果自然是f[n]
遞推公式
f[1]=0;
f=(f+m) mod i; (i>1）
有了這個公式，我們要做的就是從1-n順序算出f的數值，最後結果是f[n]。因為實際生活中編號總是從1開始，我們輸出f[n]+1

約瑟夫問題的相關子問題。

1.Poj 3517   And Then There Was One

 題意：固定開始點不是1，而是m。

先去掉一個數,轉換成n-1個數的約瑟夫環問題,再將最後結果s=(m+s)%n+1即可.

#include <stdio.h>  
#include <stdlib.h>  
#include <algorithm>  
#include <string.h>  
#include <math.h>  
#include <iostream>  
using namespace std; 
 
#define Maxn 10100  
 
int f[Maxn]; 
int main() 
{ 
    #ifndef ONLINE_JUDGE  
    freopen("in.txt","r",stdin); 
    #endif  
    int n,m,k; 
    while(scanf(" %d %d %d",&n,&k,&m)!=EOF) 
    { 
        if(n == 0 && m == 0 && k == 0) break; 
        f[1] = 0; 
        for(int i=2;i<=n;i++) 
        { 
            f[i] = (f[i-1] + k)%i; 
        } 
        printf("%d\n",(f[n-1]+m)%n + 1); 
    } 
    return 0; 
} 

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <iostream>
using namespace std;

#define Maxn 10100

int f[Maxn];
int main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt","r",stdin);
    #endif
    int n,m,k;
    while(scanf(" %d %d %d",&n,&k,&m)!=EOF)
    {
        if(n == 0 && m == 0 && k == 0) break;
        f[1] = 0;
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            f[i] = (f[i-1] + k)%i;
        }
        printf("%d\n",(f[n-1]+m)%n + 1);
    }
    return 0;
}

2.Hoj 1016 Joseph's problem I

 每次的間隔是是質數。我們只要預處理篩一次區間范圍內的質數即可。

?#include <stdio.h>  
#include <stdlib.h>  
#include <algorithm>  
#include <string.h>  
#include <math.h>  
#include <iostream>  
using namespace std; 
 
#define Maxn 50000  
 
int prime[Maxn]; 
int vis[Maxn]; 
int get_Prime(int n) 
{ 
    memset(vis,0,sizeof(vis)); 
    int np = 0; 
    for(int i=2;i<=n;i++) 
    { 
        if(!vis[i]) prime[np++] = i; 
        long long t; 
        for(int j=0;j<np && (t = prime[j]*i)<=n;j++) 
        { 
            vis[t] = 1; 
            if(i%prime[j] == 0) break; 
        } 
    } 
} 
 
int f[Maxn]; 
int main() 
{ 
    #ifndef ONLINE_JUDGE  
    freopen("in.txt","r",stdin); 
    #endif  
    get_Prime(Maxn); 
    int n; 
    while(scanf(" %d",&n)!=EOF && n!=0) 
    { 
        f[1] = 0; 
        for(int i=n-2;i>=0;i--) 
        { 
            f[n-i] = (f[n-i-1] + prime[i]) % (n - i); 
        } 
        printf("%d\n",f[n]+1); 
    } 
    return 0; 
} 

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <iostream>
using namespace std;

#define Maxn 50000

int prime[Maxn];
int vis[Maxn];
int get_Prime(int n)
{
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    int np = 0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!vis[i]) prime[np++] = i;
        long long t;
        for(int j=0;j<np && (t = prime[j]*i)<=n;j++)
        {
            vis[t] = 1;
            if(i%prime[j] == 0) break;
        }
    }
}

int f[Maxn];
int main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt","r",stdin);
    #endif
    get_Prime(Maxn);
    int n;
    while(scanf(" %d",&n)!=EOF && n!=0)
    {
        f[1] = 0;
        for(int i=n-2;i>=0;i--)
        {
            f[n-i] = (f[n-i-1] + prime[i]) % (n - i);
        }
        printf("%d\n",f[n]+1);
    }
    return 0;
}
3.Hoj 1107 Joseph's problem II

k個good guys ,k個bad guys,每次不能殺掉good guy,問最小的m.

解題方法：類似於數組模擬。每次變更start 和end的范圍。每次殺掉一個人。下一個的編號變為0。

include <stdio.h>  
#include <stdlib.h>  
#include <algorithm>  
#include <string.h>  
#include <math.h>  
#include <iostream>  
using namespace std; 
 
#define Maxn 10100  
 
int f[15]; 
bool solve(int k,int m) 
{ 
    int start = 0,end = k - 1; 
    bool flag = true; 
    for(int i=2*k;i>k;i--) 
    { 
        int kill = (m-1)%i; 
        if(kill>=start && kill<=end) 
        { 
            flag = false; 
            break; 
        } 
        start = ((start - m)%i + i)%i; 
        end = ((end - m)%i + i)%i; 
    } 
    return flag; 
} 
void init() 
{ 
    for(int k=1;k<14;k++) 
    { 
        for(int m=k+1;;m++) 
        { 
            if(solve(k,m)) 
            { 
                f[k] = m; 
                break; 
            } 
        } 
    } 
} 
int main() 
{ 
    #ifndef ONLINE_JUDGE  
    freopen("in.txt","r",stdin); 
    #endif  
    init(); 
    int k; 
    while(scanf(" %d",&k)!=EOF && k!=0) 
    { 
        printf("%d\n",f[k]); 
    } 
    return 0; 
} 

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <iostream>
using namespace std;

#define Maxn 10100

int f[15];
bool solve(int k,int m)
{
    int start = 0,end = k - 1;
    bool flag = true;
    for(int i=2*k;i>k;i--)
    {
        int kill = (m-1)%i;
        if(kill>=start && kill<=end)
        {
            flag = false;
            break;
        }
        start = ((start - m)%i + i)%i;
        end = ((end - m)%i + i)%i;
    }
    return flag;
}
void init()
{
    for(int k=1;k<14;k++)
    {
        for(int m=k+1;;m++)
        {
            if(solve(k,m))
            {
                f[k] = m;
                break;
            }
        }
    }
}
int main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt","r",stdin);
    #endif
    init();
    int k;
    while(scanf(" %d",&k)!=EOF && k!=0)
    {
        printf("%d\n",f[k]);
    }
    return 0;
}