四，徹底劃清界限（繼續分離Subclassing和Subtyping）
在第二節我們討論了部分分離Subclassing和subtyping的方法，即subclassing-implies-subtyping. 現今的許多面向對象語言，如Java, C#都是采用了這種技術。除此之外，還有一種進一步分離Subclassing和subtyping的方法。這種被稱作inheritance-is-not-subtyping的方法通過完全割裂subclassing和subtyping之間的聯系而在更大程度上方便了代碼的重用。
它的產生很大程度上是由於人們想要使用在反協變位置上的Self類型 （如Self類型的參數）。當然，增大繼承的能力的代價是subsumption的靈活性降低了。當Self類型出現在反協變的位置上時，subclass不再意味著subtype, 因此，subsumption也就不存在了。
下面請考慮這樣兩個類型：
ObjectType Max is
var n: Integer;
method max(other:Max): Max;
end;
ObjectType MinMax is
var n: Integer;
method max(other:MinMax): MinMax;
method min(other:MinMax): MinMax;
end;
再考慮兩個類：
class MaxClass is
var n:Integer :=0;
method max(other: Self): Self is
if self.n > other.n then return self else return other end;
end;
end;
subclass MinMaxClass of MaxClass is
method min(other: Self): Self is
if self.n < other.n then return self else return other end;
end;
end;
方法min和max是二元的，因為它操作兩個對象：self和other. other的類型是一個出現在反協變位置上的Self類型。
注意，方法max有一個反協變的參數類型Self, 並且它被從類MaxClass繼承到了MinMaxClass.
很直觀地，類MaxClass對應著類型Max；類MinMaxClass對應著類型MinMax. 為了精確地表示這種對應關系，我們必須針對包含使用Self類型的成員的類重新定義ObjectTypeOf，以便得到ObjectTypeOf(MaxClass) = Max, ObjectTypeOf(MinMaxClass) = MinMax。
為了使以上的等式成立，我們把類中的Self類型映射到ObjectType中的類型名稱本身。我們同時讓Self類型在繼承的時候特化。
在本例中，當我們映射MinMaxClass的類型時，我們把繼承來的max方法中的Self類型映射到MinMax類型。而對MaxClass中max方法的Self類型，我們使用Max類型。
如此，我們可以得到，任何MaxClass生成的對象，都具備Max類型。而任何MinMaxClass生成的對象都具備MinMax類型。
雖然MinMaxClass是MaxClass的子類，但這裡MinMax卻不是Max的子類型(subtype).
舉個例子，如果我們假設subtype在這種情況下成立，那麼，對以下的這個類：
subclass MinMaxClass’ of MinMaxClass is
override max(other: Self): Self is
if other.min(self) = other then return self else return other end;
end;
end;
根據我們對Self類型的映射規則和基於結構的subtype規則，我們知道，ObjectTypeOf(MinMaxClass’) = MinMax, 所以，對任何MinMaxClass’生成的對象mm’ ，我們可以知道mm’ : MinMax.
而如果MinMax <: Max成立，根據subsumption, 我們就能推出mm’ : Max.
於是當我們調用mm’.max(m)的時候，m可以是任何Max類型的對象。但是，當max的方法體調用other.min(self)的時候，如果這個other不具有min方法，這個方法就會失敗。
由此可見，MinMax <: Max並不成立。
子類(subclass) 在使用反協變的Self類型時就不再具有subtype的性質了。
五，對象協議 （Object Protocol）
從上一節的討論，我們看到對使用反協變Self類型的類，subclass不再是subtype了。這是一個令人失望的結果，畢竟很多激動人心的面向對象的優點是通過subtype, subsumption來實現的。
不過，幸運的是，雖然失去了subtype, 我們還是可以從中挖掘出來一些可以作為補償的有用的東西的。只不過，不象subtype, 我們不能享受subsumption了。
下面就讓我們來研究這種新的關系。
在第四節的MinMax的例子中，subtype不再成立；簡單地使用泛型，引入
ObjectOperator P[M <: Max] is … end; 也似乎沒有什麼用。P[Max]雖然成立，但P[MinMax]卻是不合法的，因為MinMax <: Max不成立。
但是，直觀上看，任何支持MinMax這種協議的對象，也支持Max協議的 （雖然我們還不知道這個“協議”到底是個什麼東西）。於是，似乎隱隱約約地又一個叫做“子協議”(subprotocol)的家伙在向我們招手了。
為了發現這個子協議的關系，讓我們先定義兩個type operator (還記得嗎？就是作用在類型上的函數)：
ObjectOperator MaxProtocol[X] is
var n: Integer;
method max(other: X) :X;
end;
ObjectOperator MinMaxProtocol[X] is
var n:Integer;
method max(other: X):X;
method min(other: X):X;
end;
這樣，Max = MaxProtocol[Max], MinMax = MinMaxProtocol[MinMax]
更一般地說，我們可以定義：
什麼 = 什麼-Protocol[什麼]
還記得lamda-calculus裡的fixpoint嗎？給定一個函數F, F(fixpoint(F)) = fixpoint(F)
而在我們這個子協議的type operator裡，如果我們認為type operator是作用於類型的函數的話， 那麼這個“什麼”，就是“什麼-Protocol”函數的fixpoint啊！
也就是說：
什麼= fixpoint (什麼-Protocol).
除了以上的fixpoint的性質，我們還發現了存在於Max和MinMax之間的關系。
首先，MinMax是MaxProtocol的一個post-fixpoint，即：
MinMax <: MaxProtocol[MinMax]
其次，我們可以看出：
MinMaxProtocol[Max] <: MaxProtocol[Max]
MinMaxProtocol[MinMax] <: MaxProtocol[MinMax]
最後，如果我們用<::來表示一個更高階的子類型關系：
P <:: P’ 當且僅當 P[T] <: P’[T]
那麼，MinMaxProtocol <:: MaxProtocol.
對於子協議的定義，我們可以采取上面的<::的定義，即：
如果S-Protocol<::T-Protocol, 那麼我們稱類型S和類型T之間是子協議關系。 (1)
我們也可以不用這個高階的關系，仍然使用<:這個subtype的關系：
如果S<:T-Protocol[S], 那麼我們稱類型S和類型T之間是子協議關系。 (2)
其實，第一個定義似乎更直觀一點，它更明確地顯示出子協議關系是作用於類型上的函數(type operator)之間的關系，而不是類型之間的關系。
使用泛型技術，如果我們的某一個類型需要一個實現MaxProtocol的類型來實例化的話，我們可以采用下面兩種方法中的一種：
ObjectOperator P1[X <: MaxProtocol[X]] is … end; (1)
ObjectOperator P2[P <:: MaxProtocol] is … end; (2)
這兩種方法在表達能力上是相同的。第一種方法叫做F-bounded parameterization. (譯者按，Generic Java據說就采用了這個方法)；第二種方法叫做 higher-order bounded parameterization.
對於具體語言的實現，為了方便，我們可以隱藏這個type operator. 語法上可以直接對類型支持subprotocol的關系（用<#來表示）。
對我們的MinMax的例子來說，我們就有：
MinMax <# Max.
(譯者按，繞了一大圈，什麼fixpoint啊，post-fixpoint啊，什麼高階關系啦，希望沒把你繞暈。其實，你只需要記住MinMax <# Max, 就八九不離十了，呵呵)
<#這個關系並不具有subsumption的性質，所以，你不能指望從它身上得到傳統OO裡面的多態。但是，與泛型相結合，它卻是非常有用的。
比如說，我們可以對我們的所有你用來當作參數傳給我的基於GP的快速排序模板函數給出這樣的約束：用來實例化這個模板函數的的類型必須支持Comparable協議。
