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C語言矩陣連乘 (動態規劃)詳解

投稿：lqh

動態規劃法

題目描述：給定n個矩陣{A1,A2....An}，其中Ai與Ai+1是可以相乘的，判斷這n個矩陣通過加括號的方式相乘，使得相乘的次數最少!

以矩陣鏈ABCD為例

按照矩陣鏈長度遞增計算最優值

矩陣鏈長度為1時，分別計算出矩陣鏈A、B、C、D的最優值
矩陣鏈長度為2時，分別計算出矩陣鏈AB、BC、CD的最優值
矩陣鏈長度為3時，分別計算出矩陣鏈ABC、BCD的最優值
矩陣鏈長度為4時，計算出矩陣鏈ABCD的最優值

動歸方程：

分析:

k為矩陣鏈斷開的位置
d數組存放矩陣鏈計算的最優值，d[i][j]是以第i個矩陣為首，第j個矩陣為尾的矩陣鏈的最優值，i > 0
m數組內存放矩陣鏈的行列信息，m[i-1]和m[i]分別為第i個矩陣的行和列（i = 1、2、3...）

c語言實現代碼：

#include <stdio.h>
#define N 20 
void MatrixChain(int p[N],int n,int m[N][N],int s[N][N]){ 
  int i,j,t,k;   
  int r;             //記錄相乘的矩陣個數變量 
  for(i=1;i<=n;i++){ 
    m[i][i]=0;         //當一個矩陣相乘時，相乘次數為 0  
  }   
  //矩陣個數從兩個開始一次遞增  
  for(r=2;r<=n;r++){ 
    //從某個矩陣開始     
    for(i=1;i<=n-r+1;i++){ 
      //到某個矩陣的結束  
      j=i+r-1; 
      //拿到從 i 到 j 矩陣連乘的次數  
      m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j]; 
      //拿到矩陣連乘斷開的位置  
      s[i][j]=i; 
      //尋找加括號不同，矩陣連乘次數的最小值，修改 m 數組，和斷開的位置 s 數組  
      for(k=i+1;k<j;k++){ 
        t=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j]; 
        if(t<m[i][j]){ 
          m[i][j]=t; 
          s[i][j]=k; 
        } 
      } 
    } 
  }  
} 
 
int main(void){ 
  int n,n1,m1,i,j=2; 
  int p[N]={0};          //存儲矩陣的行和列數組  
  int m[N][N]={0};        //存儲矩陣與矩陣相乘的最小次數 
  int s[N][N]={0};        //存儲矩陣與矩陣相乘斷開的位置  
  printf("請輸入矩陣個數:\n"); 
  scanf("%d",&n); 
  for(i=1;i<=n;i++){ 
    printf("請輸入第%d個矩陣的行和列(n1*m1 格式):",i); 
    scanf("%d*%d",&n1,&m1); 
    if(i==1){ 
      p[0]=n1; 
      p[1]=m1; 
    } 
    else{ 
      p[j++]=m1; 
    } 
  } 
  printf("\n記錄矩陣行和列:\n"); 
  for(i=0;i<=n;i++){ 
    printf("%d ",p[i]); 
  } 
  printf("\n"); 
  MatrixChain(p,n,m,s); 
  printf("\n矩陣相乘的最小次數矩陣為:\n"); 
  for(i=1;i<=n;i++){ 
    for(j=1;j<=n;j++){ 
      printf("%d  ",m[i][j]); 
    } 
    printf("\n"); 
  } 
  printf("\n矩陣相乘斷開的位置矩陣為:\n"); 
  for(i=1;i<=n;i++){ 
    for(j=1;j<=n;j++){ 
      printf("%d ",s[i][j]); 
    } 
    printf("\n"); 
  } 
  printf("矩陣最小相乘次數為:%d\n",m[1][n]); 
  return 0; 
} 

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