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顯然在某一天要麼花完一切錢，要麼不花錢。
所以首先想到O(n^2)DP：
f[i]=max{f[i-1],(f[j]*r[j]*a[i]+f[j]*b[i])/(a[j]*r[j]+b[j])},j<i
其中f[j]*r[j]/(a[j]*r[j]+b[j])是第j天最多能買多少A券，B相似。
假設我們曾經找到了最優的j，那麼有f[i]=(f[j]*r[j]*a[i]+f[j]*b[i])/(a[j]*r[j]+b[j])
令x[j]=f[j]*r[j]/(a[j]*r[j]+b[j])，y[j]=f[j]/(a[j]*r[j]+b[j])
那麼有f[i]=x[j]*a[i]+y[j]*b[i]
y[j]=(-a[i]/b[i])*x[j]+f[i]/b[i]
這是一條斜率為-a[i]/b[i]的直線。
由於b[i]不變，而我們要最大化f[i]，所以如今我們可以將問題轉化為從一些點中選出一個點，使經過這點的已知斜率的直線的截距最大。
但由於斜率和坐標都是無序的，我們用splay維護一個上凸殼，在求f[i]時從上凸殼中選出一個點j，使j點左右兩邊的斜率剛好將-a[i]/b[i]夾住，那麼i就從j轉移。
但這題還有更神奇的cdq分治做法。
我們可以想想，為什麼斜率和坐標都是無序的呢？由於我們從1~n順次求解。那能否依照斜率排序後逐個求解呢？答案是能。
處置區間[l,r]時先將[l,mid]建成一個上凸殼，然後將[mid+1,r]按斜率排序並更新就可以了。
時間復雜度O(n*logn)
代碼:
1 #include<iostream>
2 #include<cstdio>
3 #include<cstring>
4 #include<cmath>
5 #include<algorithm>
6 using namespace std;
7 #define N 100001
8 #define Eps 1e-9
9 #define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
10 struct Node{
11 double x,y,A,B,r,k;
12 int Id;
13 }a[N],t[N];
14 double f[N];
15 int i,j,St[N],Top,n,m;
16 inline bool Cmp(Node a,Node b){return a.k<b.k;}
17 inline double _Max(double x,double y){return x<y?y:x;}
18 inline double Slop(int x,int y){
19 if(!y)return -1e20;
20 if(fabs(a[x].x-a[y].x)<Eps)return 1e20;
21 return (a[x].y-a[y].y)/(a[x].x-a[y].x);
22 }
23 inline void Solve(int l,int r){
24 if(l==r){
25 f[l]=_Max(f[l],f[l-1]);
26 a[l].y=f[l]/(a[l].A*a[l].r+a[l].B);
27 a[l].x=a[l].y*a[l].r;
28 return;
29 }
30 int Mid=l+r>>1;
31 int l1=l,l2=Mid+1;
32 for(int i=l;i<=r;i++)
33 if(a[i].Id<=Mid)t[l1++]=a[i];else t[l2++]=a[i];
34 for(int i=l;i<=r;i++)a[i]=t[i];
35 Solve(l,Mid);
36 Top=0;
37 for(int i=l;i<=Mid;i++){
38 while(Top>1&&Slop(St[Top-1],i)+Eps>Slop(St[Top-1],St[Top]))Top--;
39 St[++Top]=i;
40 }
41 int j=1;
42 St[++Top]=0;
43 for(int i=r;i>Mid;i--){
44 while(j<Top&&a[i].k<Slop(St[j],St[j+1])+Eps)j++;
45 f[a[i].Id]=_Max(f[a[i].Id],a[St[j]].x*a[i].A+a[St[j]].y*a[i].B);
46 }
47 Solve(Mid+1,r);
48 l1=l,l2=Mid+1;
49 for(int i=l;i<=r;i++)
50 if(l1>Mid)t[i]=a[l2++];else
51 if(l2>r)t[i]=a[l1++];else
52 if(a[l1].x<a[l2].x||(fabs(a[l1].x-a[l2].x)<Eps&&a[l1].y<a[l2].y))t[i]=a[l1++];else t[i]=a[l2++];
53 for(int i=l;i<=r;i++)a[i]=t[i];
54 }
55 int main()
56 {
57 scanf("%d%lf",&n,&f[0]);
58 for(i=1;i<=n;i++){
59 scanf("%lf%lf%lf",&a[i].A,&a[i].B,&a[i].r);
60 a[i].Id=i;a[i].k=-a[i].A/a[i].B;
61 }
62 sort(a+1,a+n+1,Cmp);
63 Solve(1,n);
64 printf("%.3lf",f[n]);
65 return 0;
66 }
bzoj1492
