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數據構造之AVL樹詳解

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1. 概述

AVL樹是最早提出的自均衡二叉樹，在AVL樹中任何節點的兩個子樹的高度最年夜差異為一，所以它也被稱為高度均衡樹。AVL樹得名於它的創造者G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis。AVL樹種查找、拔出和刪除在均勻和最壞情形下都是O（log n），增長和刪除能夠須要經由過程一次或屢次樹扭轉來從新均衡這個樹。本文引見了AVL樹的設計思惟和根本操作。

2. 根本術語

有四各種情形能夠招致二叉查找樹不屈衡，分離為：
（1）LL：拔出一個新節點到根節點的左子樹（Left）的左子樹（Left），招致根節點的均衡因子由1變成2
（2）RR：拔出一個新節點到根節點的右子樹（Right）的右子樹（Right），招致根節點的均衡因子由-1變成-2
（3）LR：拔出一個新節點到根節點的左子樹（Left）的右子樹（Right），招致根節點的均衡因子由1變成2
（4）RL：拔出一個新節點到根節點的右子樹（Right）的左子樹（Left），招致根節點的均衡因子由-1變成-2
針對四各種情形能夠招致的不屈衡，可以經由過程扭轉使之變均衡。有兩種根本的扭轉：
（1）左扭轉：將根節點扭轉到（根節點的）右孩子的左孩子地位
（2）右扭轉：將根節點扭轉到（根節點的）左孩子的右孩子地位

3. AVL樹的扭轉操作

AVL樹的根本操作是扭轉，有四種扭轉方法，分離為：左扭轉，右扭轉，閣下扭轉（先左後右），右左扭轉（先右後左），現實上，這四種扭轉操作兩兩對稱，因此也能夠說成兩類扭轉操作。
根本的數據構造：

typedef struct Node* Tree;
typedef struct Node* Node_t;
typedef Type int;

struct Node{
Node_t left;
Node_t right;
int height;
Type data;
};
int Height(Node_t node) {
return node->height;
}

3.1 LL

LL情形須要右旋處理，以下圖所示：

代碼為：

Node_t RightRotate(Node_t a) {
b = a->left;
a->left = b->right;
b->right = a;
a->height = Max(Height(a->left), Height(a->right));
b->height = Max(Height(b->left), Height(b->right));
return b;
}

3.2 RR
RR情形須要左旋處理，以下圖所示：

代碼為：

Node_t LeftRotate(Node_t a) {
b = a->right;
a->right = b->left;
b->left = a;
a->height = Max(Height(a->left), Height(a->right));
b->height = Max(Height(b->left), Height(b->right));
return b;
}

3.3 LR

LR情形須要閣下（先B左扭轉，後A右扭轉）旋處理，以下圖所示：

代碼為：

Node_t LeftRightRotate(Node_t a) {
a->left = LeftRotate(a->left);
return RightRotate(a);
}

3.4 RL

RL情形須要右左旋處理（先B右扭轉，後A左扭轉），以下圖所示：

代碼為：

Node_t RightLeftRotate(Node_t a) {
a->right = RightRotate(a->right);
return LeftRotate(a);
}

4. AVL數的拔出和刪除操作

(1) 拔出操作：現實上就是在分歧情形下采取分歧的扭轉方法調劑整棵樹，詳細代碼以下：

Node_t Insert(Type x, Tree t) {
if(t == NULL) {
   t = NewNode(x);
} else if(x < t->data) {
   t->left = Insert(t->left);
   if(Height(t->left) - Height(t->right) == 2) {
    if(x < t->left->data) {
     t = RightRotate(t);
    } else {
     t = LeftRightRotate(t);
    }
  }
} else {
   t->right = Insert(t->right);
   if(Height(t->right) - Height(t->left) == 2) {
    if(x > t->right->data) {
     t = LeftRotate(t);
    } else {
     t = RightLeftRotate(t);
    }
  }
}
t->height = Max(Height(t->left), Height(t->right)) + 1;
return t;
}

(2) 刪除操作：起首定位要刪除的節點，然後用該節點的右孩子的最左孩子調換該節點，偏重新調劑以該節點為根的子樹為AVL樹，詳細調劑辦法跟拔出數據相似，代碼以下：

Node_t Delete(Type x, Tree t) {
if(t == NULL) return NULL;
if(t->data == x) {
  if(t->right == NULL) {
   Node_t temp = t;
   t = t->left;
   free(temp);
  } else {
   Node_t head = t->right;
   while(head->left) {
    head = head->left;
   }
   t->data = head->data; //just copy data
   t->right = Delete(t->data, t->right);
   t->height = Max(Height(t->left), Height(t->right)) + 1;
  }
  return t;
} else if(t->data < x) {
  Delete(x, t->right);
  if(t->right) Rotate(x, t->right);
} else {
  Delete(x, t->left);
  if(t->left) Rotate(x, t->left);
}
if(t) Rotate(x, t);
}