一、引言
DCT變換是數字圖像處理中重要的變換，很多重要的圖像算法、圖像應用都是基於DCT變換的，如JPEG圖像編碼方式。對於大尺寸的二維數值矩陣，倘若采用普通的DCT變換來進行，其所花費的時間將是讓人難以忍受甚至無法達到實用。而要克服這一難點，DCT變換的快速算法無非是非常吸引人的。
就目前而言，DCT變換的快速算法無非有以下兩種方式：
1．由於FFT算法的普便采用，直接利用FFT來實現DCT變換的快速算法相比來說就相對容易。但是此種方法也有不足：計算過程會涉及到復數的運算。由於DCT變換前後的數據都是實數，計算過程中引入復數，而一對復數的加法相當於兩對實數的加法，一對復數的乘法相當於四對實數的乘法和兩對實數的加法，顯然是增加了運算量，也給硬件存儲提出了更高的要求。
2．直接在實數域進行DCT快速變換。顯然，這種方法相比於前一種而言，計算量和硬件要求都要優於前者。
鑒於此，本文采用第二種方法來實現DCT變換的快速算法。
二、理論推導
限於篇幅，在此不能羅列，具體推導過程可參見《DCT快速新算法及濾波器結構研究與子波變換域圖像降噪研究》華南理工大學博士論文。
三、程序實現
DCT快速變換
考慮到DCT變換中的系數要重復計算，可使用查找表來提高運行的效率，只要開始DCT變換之前計算一次，DCT變換中就可以只查找而無需計算系數。
void initDCTParam(int deg)
{
// deg 為DCT變換數據長度的冪
if(bHasInit)
{
return; //不用再計算查找表
}
int total, halftotal, i, group, endstart, factor;
total = 1 << deg;
if(C != NULL) delete []C;
C = (double *)new double[total];
halftotal = total >> 1;
for(i=0; i < halftotal; i++)
C[total-i-1]=(double)(2*i+1);
for(group=0; group < deg-1; group++)
{
endstart=1 << (deg-1-group);
int len = endstart >> 1;
factor=1 << (group+1);
for(int j = 0;j < len; j++)
C[endstart-j-1] = factor*C[total-j-1];
}
for(i=1; i < total; i++)
C[i] = 2.0*cos(C[i]*PI/(total << 1)); ///C[0]空著，沒使用
bHasInit=true;
}
DCT變換過程可分為兩部分：前向追底和後向回根
前向追底：
void dct_forward(double *f,int deg)
{
// f中存儲DCT數據
int i_deg, i_halfwing, total, wing, wings, winglen, halfwing;
double temp1,temp2;
total = 1 << deg;
for(i_deg = 0; i_deg < deg; i_deg++)
{
wings = 1 << i_deg;
winglen = total >> i_deg;
halfwing = winglen >> 1;
for(wing = 0; wing < wings; wing++)
{
for(i_halfwing = 0; i_halfwing < halfwing; i_halfwing++)
{
temp1 = f[wing*winglen+i_halfwing];
temp2 = f[(wing+1)*winglen-1-i_halfwing];
if(wing%2)
swap(temp1,temp2); // 交換temp1與temp2的值
f[wing*winglen+i_halfwing] = temp1+temp2;
f[(wing+1)*winglen-1-i_halfwing] =
(temp1-temp2)*C[winglen-1-i_halfwing];
}
}
}
}
後向回根：
void dct_backward(double *f,int deg)
{
// f中存儲DCT數據
int total,i_deg,wing,wings,halfwing,winglen,i_halfwing,temp1,temp2;
total = 1 << deg;
for(i_deg = deg-1; i_deg >= 0; i_deg--)
{
wings = 1 << i_deg;
winglen = 1 << (deg-i_deg);
halfwing = winglen >> 1;
for(wing = 0; wing < wings; wing++)
{
for(i_halfwing = 0; i_halfwing < halfwing; i_halfwing++)
{
//f[i_halfwing+wing*winglen] = f[i_halfwing+wing*winglen];
if(i_halfwing == 0)
{
f[halfwing+wing*winglen+i_halfwing] =
0.5*f[halfwing+wing*winglen+i_halfwing];
}
else
{
temp1=bitrev(i_halfwing,deg-i_deg-1); // bitrev為位反序
temp2=bitrev(i_halfwing-1,deg-i_deg-1); // 第一參數為要變換的數
// 第二參數為二進制長度
f[halfwing+wing*winglen+temp1] =
f[halfwing+wing*winglen+temp1]-f[halfwing+wing*winglen+temp2];
}
}
}
}
}
位反序函數如下：
int bitrev(int bi,int deg)
{
int j = 1, temp = 0, degnum, halfnum;
degnum = deg;
//if(deg<0) return 0;
if(deg == 0) return bi;
halfnum = 1 << (deg-1);
while(halfnum)
{
if(halfnum&bi)
temp += j;
j<<=1;
halfnum >>= 1;
}
return temp;
}
完整實現一維DCT變換：
void fdct_1D_no_param(double *f,int deg)
{
initDCTParam(deg);
dct_forward(f,deg);
dct_backward(f,deg);
fbitrev(f,deg); // 實現位反序排列
f[0] = 1/(sqrt(2.0))*f[0];
}
void fdct_1D(double *f,int deg)
{
fdct_1D_no_param(f,deg);
int total = 1 << deg;
double param = sqrt(2.0/total);
for(int i = 0; i < total; i++)
f[i] = param*f[i];
}
利用一維DCT變換來實現二維DCT變換：
void fdct_2D(double *f,int deg_row,int deg_col)
{
int rows,cols,i_row,i_col;
double two_div_sqrtcolrow;
rows=1 << deg_row;
cols=1 << deg_col;
init2D_Param(rows,cols);
two_div_sqrtcolrow = 2.0/(sqrt(double(rows*cols)));
for(i_row = 0; i_row < rows; i_row++)
{
fdct_1D_no_param(f+i_row*cols,deg_col);
}
for(i_col = 0; i_col < cols; i_col++)
{
for(i_row = 0; i_row < rows; i_row++)
{
temp_2D[i_row] = f[i_row*cols+i_col];
}
fdct_1D_no_param(temp_2D, deg_row);
for(i_row = 0; i_row < rows; i_row++)
{
f[i_row*cols+i_col] = temp_2D[i_row]*two_div_sqrtcolrow;
}
}
bHasInit = false;
}
IDCT快速變換
初始化查找表：
void initIDCTParam(int deg)
{
if(bHasInit)
return; //不用再計算查找表
int total, halftotal, i, group, endstart, factor;
total = 1 << deg;
// if(C!=NULL) delete []C;
// C=(double *)new double[total];
// 由於正變換已經為C申請了空間，所以逆變換就需再申請空間了！
halftotal = total >> 1;
for(i = 0; i < halftotal; i++)
C[total-i-1] = (double)(2*i+1);
for(group = 0; group < deg-1; group++)
{
endstart = 1 << (deg-1-group);
int len = endstart>>1;
factor = 1 << (group+1);
for(int j = 0; j < len; j++)
C[endstart-j-1] = factor*C[total-j-1];
}
for(i = 1; i < total; i++)
C[i] = 1.0/(2.0*cos(C[i]*PI/(total << 1))); // C[0]空著沒用
bHasInit=true;
}
IDCT變換過程也可分為兩部分：前向追底和後向回根
前向追底
void idct_forward(double *F,int deg)
{
int total,i_deg,wing,wings,halfwing,winglen,i_halfwing,temp1,temp2;
total = 1 << deg;
for(i_deg = 0; i_deg < deg; i_deg++)
{
wings = 1 << i_deg;
winglen = 1 << (deg-i_deg);
halfwing = winglen >> 1;
for(wing = 0; wing < wings; wing++)
{
for(i_halfwing = halfwing-1; i_halfwing >= 0; i_halfwing--)
{
if(i_halfwing == 0)
{
F[halfwing+wing*winglen+i_halfwing] =
2.0*F[halfwing+wing*winglen+i_halfwing];
}
else
{
temp1 = bitrev(i_halfwing,deg-i_deg-1);
temp2 = bitrev(i_halfwing-1,deg-i_deg-1);
F[halfwing+wing*winglen+temp1] = F[halfwing+wing*winglen+temp1]
+F[halfwing+wing*winglen+temp2];
}
}
}
}
}
後向回根
void idct_backward(double *F, int deg)
{
int i_deg,i_halfwing,total,wing,wings,winglen,halfwing;
double temp1, temp2;
total = 1 << deg;
for(i_deg = deg-1; i_deg >= 0; i_deg--)
{
wings = 1 << i_deg;
winglen = total >> i_deg;
halfwing = winglen >> 1;
for(wing = 0; wing < wings; wing++)
{
for(i_halfwing = 0; i_halfwing < halfwing; i_halfwing++)
{
temp1 = F[wing*winglen+i_halfwing];
temp2 = F[(wing+1)*winglen-1-i_halfwing]*C[winglen-1-i_halfwing];
if(wing % 2)
{
F[wing*winglen+i_halfwing] = (temp1-temp2)*0.5;
F[(wing+1)*winglen-1-i_halfwing] = (temp1+temp2)*0.5;
}
else
{
F[wing*winglen+i_halfwing] = (temp1+temp2)*0.5;
F[(wing+1)*winglen-1-i_halfwing] = (temp1-temp2)*0.5;
}
}
}
}
}
完整實現一維IDCT變換：
void fidct_1D_no_param(double *F, int deg)
{
initIDCTParam(deg);
F[0] = F[0]*sqrt(2.0);
fbitrev(F, deg);
idct_forward(F, deg);
idct_backward(F, deg);
}
void fdct_1D(double *f, int deg)
{
fdct_1D_no_param(f, deg);
int total = 1 << deg;
double param = sqrt(2.0/total);
for(int i = 0; i < total; i++)
f[i] = param*f[i];
}
利用一維IDCT變換來實現二維IDCT變換：
void fidct_2D(double *F, int deg_row, int deg_col)
{
int rows,cols,i_row,i_col;
double sqrtcolrow_div_two;
rows = 1 << deg_row;
cols = 1 << deg_col;
init2D_Param(rows,cols);
sqrtcolrow_div_two = (sqrt(double(rows*cols)))/2.0;
for(i_row = 0; i_row < rows; i_row++)
{
fidct_1D_no_param(F+i_row*cols,deg_col);
}
for(i_col = 0; i_col < cols; i_col++)
{
for(i_row = 0; i_row < rows; i_row++)
{
temp_2D[i_row] = F[i_row*cols+i_col];
}
fidct_1D_no_param(temp_2D, deg_row);
for(i_row = 0; i_row < rows; i_row++)
{
F[i_row*cols+i_col] = temp_2D[i_row]*sqrtcolrow_div_two;
}
}
bHasInit=false;
}
多線程的考量由於DCT變換要花費一定的時間，特別是在數據矩陣尺寸比較大的時候。此時，如果沒有增加一個線程來執行DCT變換，操作界面可能因程序忙於DCT變換的計算而失去響應，所以，增加一個用來進行DCT變換的線程是十分必要的。
首先定義一個結構
typedef struct
{
int row;
int col;
double *data;
//double *data2;
//double *data3; // 在計算彩色圖象的數據矩陣時，彩色圖象用RGB三個分量
bool m_bfinished;
DWORD m_start,m_end; //以毫秒計，用來計算DCT變換所用的時間;
}RUNINFO;
DCT變換進程函數：
UINT ThreadProcfastDct(LPVOID pParam)
{
RUNINFO *pinfo = (RUNINFO*)pParam;
pinfo->m_start = ::GetTickCount();
fdct_2D((double *)pinfo->data, GetTwoIndex(pinfo->row), GetTwoIndex(pinfo->col));
pinfo->m_end = ::GetTickCount();
pinfo->m_bfinished = true;
return 1;
}
IDCT變換進程函數：
UINT ThreadProcfastIDct(LPVOID pParam)
{
RUNINFO *pinfo = (RUNINFO*)pParam;
pinfo->m_start = ::GetTickCount();
fidct_2D((double *)pinfo->data, GetTwoIndex(pinfo->row), GetTwoIndex(pinfo->col));
pinfo->m_end = ::GetTickCount();
pinfo->m_bfinished = true;
return 1;
}
四、程序運行
圖1 普通DCT變換
圖2 快速DCT變換
圖3 快速IDCT變換
從以上可以看出，采用上述快速DCT變換對一幅256灰度的256＊256的圖像進行DCT正變換只需94ms,IDCT逆變換也只需94ms，而如果采用普通DCT變換，所需時間要575172ms。由此可見，DCT快速變換的巨大的優勢，計算速度快，效率高。
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