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笛卡爾乘積引見

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笛卡爾（Descartes）乘積又叫直積。假定集合A={a,b}，集合B={0,1,2}，則兩個集合的笛卡爾積為{(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1), (b,2)}。可以擴展到多個集合的狀況。相似的例子有，假如A表示某學校先生的集合，B表示該學校一切課程的集合，則A與B的笛卡爾積表示一切能夠的選課狀況。

在數學中，兩個集合 X 和 Y 的笛卡兒積（Cartesian product），又稱直積，表示為 X × Y，是其第一個對象是 X 的成員而第二個對象是 Y 的一個成員的一切能夠的有序對：

$X\times Y = \{(x,y) \ | \ x\in X\;\land\;y\in Y\}$ 。

笛卡兒積得名於笛卡兒，他的解析幾何的公式化引發了這個概念。

詳細的說，假如集合 X 是 13 個元素的點數集合 { A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 } 而集合 Y 是 4 個元素的花樣集合 {♠, ♥, ♦, ♣}，則這兩個集合的笛卡兒積是 52 個元素的規范撲克牌的集合 { (A, ♠), (K, ♠), ..., (2, ♠), (A, ♥), ..., (3, ♣), (2, ♣) }。

1 笛卡兒積的性質
2 笛卡兒平方和 n-元乘積
3 無量乘積
4 函數的笛卡兒積
5 內部鏈接
6 參見笛卡兒積的性質
易見笛卡兒積滿足下列性質：
- 關於恣意集合 A，依據定義有 $A \times \varnothing = \varnothing \times A = \varnothing$
- 普通來說笛卡兒積不滿足交流律和結合律。
- 笛卡兒積對集合的並和交滿足分配律，即
  
  $A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$
  
  $(B \cup C) \times A = (B \times A) \cup (C \times A)$
  
  $A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)$
  
  $(B \cap C) \times A = (B \times A) \cap (C \times A)$
  $(A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D)$
  
  笛卡兒平方和 n-元乘積
  集合 X 的笛卡兒平方(或二元笛卡兒積)是笛卡兒積 X × X。一個例子是二維立體 R × R，這裡 R 是實數的集合 - 一切的點 (x,y)，這裡的 x 和 y 是實數(參見笛卡兒坐標系)。
  
  可以推行出在 n 個集合 X1, ..., Xn 上的 n-元笛卡兒積:
  
  $X_1\times\ldots\times X_n = \{(x_1, \ldots, x_n) \ | \ x_1\in X_1\;\land\;\ldots\;\land\;x_n\in X_n\}$ 。
  
  實踐上，它可以被認同為 (X1 × ... × Xn-1) × Xn。它也是 n-元組的集合。
  
  一個例子是歐幾裡得三維空間 R × R × R，這裡的 R 再次是實數的集合。
  
  為了輔佐它的計算，可繪制一個表格。一個集協作為行而另一個集協作為列，從行和列的集合選擇元素構成有序對作為表的單元格。
  無量乘積
  對最常用的數學使用而言上述定義通常就是所需求的全部。但是有能夠在恣意(能夠有限)的集合的搜集上定義笛卡兒積。假如 I 是任何目標集合，而
  
  $\{X_i\ | i \in I\}$
  
  是由 I 索引的集合的搜集，則我們定義
  
  $\prod_{i \in I} X_i = \{ f : I \to \bigcup_{i \in I} X_i\ |\ (\forall i)(f(i) \in X_i)\}$ ，
  
  就是定義在索引集合上的一切函數的集合，使得這些函數在特定索引 i 上的值是 Xi 的元素。
  
  對在 I 中每個 j，定義自
  
  $\pi_{j}(f) = f(j) \$
  
  的函數
  
  $\pi_{j} : \prod_{i \in I} X_i \to X_{j} \$
  
  叫做第 j 投影映射。
  
  n-元組可以被看作在 {1, 2, ..., n} 上的函數，它在 i 上的值是這個元組的第 i 個元素。所以，在 I 是 {1, 2, ..., n} 的時分這個定義分歧於對無限狀況的定義。在有限狀況下這個定義是集合族。
  
  特別熟習的一個有限狀況是在索引集合是自然數的集合 $\mathbb N,$ 的時分: 這正是其中第 i 項對應於集合 Xi 的一切有限序列的集合。再次， $\mathbb R$ 提供了這樣的一個例子:
  
  $\prod_{n = 1}^\infty \mathbb R =\mathbb{R}^\omega= \mathbb R \times \mathbb R \times \ldots$
  
  是實數的有限序列的搜集，並且很容易可視化為帶有無限數目構件的向量或元組。另一個特殊狀況(上述例子也滿足它)是在乘積觸及因子 Xi 都是相反的時分，相似於“笛卡兒指數”。則在定義中的有限並集本身就是這個集合本身，而其他條件被偉大的滿足了，所以這正是從 I 到 X 的一切函數的集合。
  
  此外，有限笛卡兒積更少直覺性，雖然有使用於初級數學的價值。
  
  斷言非空集合的恣意非空搜集的笛卡兒積為非空等價於選擇公理。
  函數的笛卡兒積
  假如 f 是從 A 到 B 的函數而 g 是從 X 到 Y 的函數，則它們的笛卡兒積 f×g 是從 A×X 到 B×Y 的函數，帶有
  
  $(f\times g)(a, x) = (f(a), g(x))$
  
  上述可以被擴展到函數的元組和有限目標。