UVA 11582 Colossal Fibonacci Numbers! 大斐波那契數，11582colossal

UVA 11582 Colossal Fibonacci Numbers! 大斐波那契數，11582colossal

大致題意：輸入兩個非負整數a,b和正整數n。計算f(a^b)%n。其中f[0]=f[1]=1, f[i+2]=f[i+1]+f[i]. 即計算大斐波那契數再取模。

一開始看到大斐波那契數，就想到了矩陣快速冪，輸出等了幾秒鐘才輸出完，肯定會超時。因為所有計算都是要取模的，設F[i]=f[i] mod n。F[0]=F[1]=1。只要出現F[i]=F[i+1]=1，那麼整個序列就會重復。例如n=3，則序列為1，1，2，0，2，2，1，0，1，1……第九項和第十項都等於1，所以之後的序列都會重復。

至於多久會重復一次，這個沒法直接看出來。我的程序是一直判斷下去知道有相鄰地兩個1，這樣有點冒險，不過沒有超時。後來看了下劉汝佳的書，書上這樣說的：因為余數最多n種，所以最多n²項就會重復。這是一個結論嗎，我沒看懂，先記著吧。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;

const int maxn=1000000+5;
typedef unsigned long long ull;
int modnum[maxn];
int Mod;

int powermod(ull a,ull b,int c)
{
    ull ans=1;
    a%=c;
    while(b)
    {
        if(b&1)
           ans=ans*a%c;
        a=a*a%c;
        b=b>>1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    int t;
    ull a,b;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%llu%llu%d",&a,&b,&Mod);
        if(Mod==1 || a==0)
        {
            printf("0\n");
            continue;
        }
        modnum[0]=modnum[1]=1;
        int p=1;
        for(int i=2;;i++)
        {
            modnum[i]=(modnum[i-1]+modnum[i-2])%Mod;
            if(modnum[i]==1 && modnum[i-1]==1)
            {
                p=i-1;
                break;
            }
        }
        printf("%d\n",modnum[powermod(a,b,p)-1]);
    }
    return 0;
}