NYOJ 1075 （遞推 + 矩陣快速冪）

NYOJ 1075 （遞推 + 矩陣快速冪）

“紅色病毒”問題

描述

醫學研究者最近發現了一種新病毒，因為其蔓延速度與曾經在Internet上傳播的“紅色代碼”不相上下，故被稱為“紅色病毒”。 經研究發現，該病毒及其變種的DNA序列中，腺嘌呤（A）、胞嘧啶（C）均是成對出現的。LYH想知道在這種特征下，所有可能成為該病毒的DNA序列的個數。

輸入

多組測試數據。 每組數據輸入一個整數n，表示該病毒DNA序列的長度。（1≤n≤10^9） n=0時表示輸入結束，不用做任何處理。

輸出

每組輸出占一行，代表該病毒長度為n的所有可能的DNA序列個數。由於結果可能非常大，你只需輸出對10007取余後的結果即可。

樣例輸入

12

樣例輸出

26

提示

DNA序列僅由腺嘌呤（A)，鳥嘌呤（G），胞嘧啶（C），胸腺嘧啶（T）四種核苷酸組成。 當n=2時，所有可能的DNA序列為TT、TG、GT、GG、AA、CC。

分析：因為題目要求A和C要成對出現，即A和C的數量都是偶數，所以可以定義4個狀態：

dp[n][0]表示長度為n時A的數量為偶數，C的數量也為偶數，

dp[n][1]表示長度為n時A的數量為偶數，C的數量為奇數，

dp[n][2]表示長度為n時A的數量為奇數，C的數量為偶數，

dp[n][3]表示長度為n時A的數量為奇數，C的數量也為奇數的DNA序列的數量，

則

dp[n][0] = dp[n-1][0] * 2 + dp[n-1][1] * 1 + dp[n-1][2] * 1 + dp[n-1][3] * 0

dp[n][1] = dp[n-1][0] * 1 + dp[n-1][1] * 2 + dp[n-1][2] * 0 + dp[n-1][3] * 1

dp[n][2] = dp[n-1][0] * 1 + dp[n-1][1] * 0 + dp[n-1][2] * 2 + dp[n-1][3] * 1

dp[n][3] = dp[n-1][0] * 0 + dp[n-1][1] * 1 + dp[n-1][2] * 1 + dp[n-1][3] * 2

根據這個遞推關系，可以構造出如下一個4*4的矩陣，

| 2 1 1 0 |

| 1 2 0 1 |

| 1 0 2 1 |

| 0 1 1 2 |

然後利用矩陣快速冪就可以快速求出答案。

#include
#include

#define mod 10007

struct Matrix {
    int mat[4][4];
    Matrix() {
        memset(mat, 0, sizeof(mat));
        for(int i = 0; i < 4; i++)
            mat[i][i] = 1;
    }
};

Matrix Multi(Matrix a, Matrix b) {
    Matrix res;
    for(int i = 0; i < 4; i++) {
        for(int j = 0; j < 4; j++) {
            res.mat[i][j] = 0;
            for(int k = 0; k < 4; k++) {
                res.mat[i][j] += a.mat[i][k] * b.mat[k][j];
                res.mat[i][j] %= mod;
            }
        }
    }
    return res;
}

Matrix Pow(Matrix a, int x) {
    Matrix res;
    while(x) {
        if(x&1) res = Multi(res, a);
        a = Multi(a, a);
        x >>= 1;
    }
    return res;
}

int main() {
    int T, n;

    Matrix A;  //系數矩陣
    A.mat[0][0] = 2; A.mat[0][1] = 1; A.mat[0][2] = 1; A.mat[0][3] = 0;
    A.mat[1][0] = 1; A.mat[1][1] = 2; A.mat[1][2] = 0; A.mat[1][3] = 1;
    A.mat[2][0] = 1; A.mat[2][1] = 0; A.mat[2][2] = 2; A.mat[2][3] = 1;
    A.mat[3][0] = 0; A.mat[3][1] = 1; A.mat[3][2] = 1; A.mat[3][3] = 2;

    scanf("%d",&T);
    while(T--) {
        scanf("%d", &n);
        Matrix ans = Pow(A, n);
        printf("%d\n", ans.mat[0][0]);
    }

    return 0;
}