BZOJ[Noi2010]能量采集

Description

棟棟有一塊長方形的地，他在地上種了一種能量植物，這種植物可以采集太陽光的能量。在這些植物采集能量後，棟棟再使用一個能量匯集機器把這些植物采集到的能量匯集到一起。 棟棟的植物種得非常整齊，一共有n列，每列有m棵，植物的橫豎間距都一樣，因此對於每一棵植物，棟棟可以用一個坐標(x, y)來表示，其中x的范圍是1至n，表示是在第x列，y的范圍是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由於能量匯集機器較大，不便移動，棟棟將它放在了一個角上，坐標正好是(0, 0)。 能量匯集機器在匯集的過程中有一定的能量損失。如果一棵植物與能量匯集機器連接而成的線段上有k棵植物，則能量的損失為2k + 1。例如，當能量匯集機器收集坐標為(2, 4)的植物時，由於連接線段上存在一棵植物(1, 2)，會產生3的能量損失。注意，如果一棵植物與能量匯集機器連接的線段上沒有植物，則能量損失為1。現在要計算總的能量損失。 下面給出了一個能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20棵植物，在每棵植物上標明了能量匯集機器收集它的能量時產生的能量損失。 在這個例子中，總共產生了36的能量損失。

Input

僅包含一行，為兩個整數n和m。

Output

僅包含一個整數，表示總共產生的能量損失。

Sample Input

【樣例輸入1】
5 4


【樣例輸入2】
3 4

Sample Output

【樣例輸出1】
36

【樣例輸出2】
20

【數據規模和約定】
對於10%的數據：1 ≤ n, m ≤ 10；

對於50%的數據：1 ≤ n, m ≤ 100；

對於80%的數據：1 ≤ n, m ≤ 1000；

對於90%的數據：1 ≤ n, m ≤ 10,000；

對於100%的數據：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

題目喊我們求的是sigma{gcd(x,y)}*2-n*m；

所以求sigma{gcd(x,y)}就完了，最先想的是枚舉x，對於每一個x，計算sigma{gcd(x,p)}，最後統計，這樣考慮枚舉不同的gcd(a,b)，即枚舉x不同的因數，對於一個因數k，1--m中gcd(x,p)為k的倍數的個數為x/k，然後用一次容斥原理，1--m中gcd(x,p)為k的個數為x/k-sigma{x/(k*i)}。這樣復雜度是O(nlognlogn)的。

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std; 
typedef long long LL;
LL sta[20000];
int top;
LL sum=0;
LL n,m;
LL ans[20000];
int main(){
//  freopen("energy.in","r",stdin);
//  freopen("energy.out","w",stdout);
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;i++){
        top=0;
        LL tmp=i;
        for (int j=1;j*j<=i;j++)
            if (i%j==0){
                sta[++top]=j;
                if (i!=j*j)
                    sta[++top]=i/j;
                }
        sort(sta+1,sta+top+1);
//      if (tmp!=1) sta[++top]=tmp;
//      if (i!=1)   sta[++top]=i;
        for (int j=top;j>=1;j--){
            LL cnt=m/sta[j];
            for (int k=top;k>j;k--)
                if (sta[k]%sta[j]==0)
                    cnt-=ans[k];
            ans[j]=cnt;
            }
//      for (int j=1;j<=top;j++) printf("%d ",sta[j]);printf("\n");
//      for (int j=1;j<=top;j++) printf("%d ",ans[j]);printf("\n\n");
        for (int j=1;j<=top;j++)
            sum+=ans[j]*sta[j];
        }
    printf("%lld",2*sum-n*m);
    return 0;
}

查了網上題解發現，其實不需要枚舉x，直接對於每一個不同的gcd，用容斥算就行了：對於一個gcd=k的情況，出現gcd是k的倍數的個數為n/k*m/k，用一次容斥，出現gcd是k的個數為n/k*m/k-sigma{(n/k*i)*(m/k*i)}，最後統計一邊就行了

#include
#include
 
inline int min(int a,int b){return a=1;i--)
            for(int k=2;k*i<=t;k++)
                cnt[i]-=cnt[k*i];//to get the real number of whose gc is i
        long long ans = 0;
        for(int i=1;i<=t;i++)
            ans+=2*(i-1)*cnt[i];
        printf("%lld\n",ans+(long long)n*m);
    }
    return 0;
}