第一行一個整數n，接下來n行每行五個整數，分別表示a、b、c、d、k
共n行，每行一個整數表示滿足要求的數對(x,y)的個數
100%的數據滿足：1≤n≤50000，1≤a≤b≤50000，1≤c≤d≤50000，1≤k≤50000
容斥原理+莫比烏斯反演
首先根據容斥原理，可以將一個詢問轉化成四個詢問(a-1,c-1) (a-1,d) (b,c-1) (b,d)，每次詢問有多少個數對(x,y)滿足1≤x≤n，1≤y≤m且gcd(x,y)=k。
這個問題等價於有多少個數對(x,y)滿足1≤x小於等於(n/k)，1≤y≤(m/k)且x與y互質。
這時候我們就可以考慮莫比烏斯反演了。
令f(i)表示1≤x≤n，1≤y≤m且gcd(x,y)=i的數對(x,y)的個數；g(i)表示1≤x≤n，1≤y≤m且i|gcd(x,y)的數對(x,y)的個數。
那麼顯然有g(i)=(n/i)*(m/i)。
根據莫比烏斯定理有f(i)=∑(i|d) mu(d/i)*g(d)。
這樣枚舉每一個k的倍數，就可以將每次詢問做到O(n)。
但這還是有點慢，於是我們考慮進一步優化。我們維護莫比烏斯函數的前綴和，然後對於(n/i)和(m/i)相同的部分分塊處理，最多有4*sqrt(n)塊。所以單次詢問復雜度就降到O(sqrt(n))，總復雜度為O(n*sqrt(n))。
#include#include #include #include #include #include #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;i++) #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;i--) #define ll long long #define maxn 50005 using namespace std; int t,a,b,c,d,k,tot; int mu[maxn],sum[maxn],pri[maxn]; bool mark[maxn]; inline int read() { int x=0,f=1;char ch=getchar(); while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();} while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();} return x*f; } inline void getmu() { mu[1]=1; F(i,2,50000) { if (!mark[i]){mu[i]=-1;pri[++tot]=i;} for(int j=1;j<=tot&&pri[j]*i<=50000;j++) { mark[i*pri[j]]=true; if (i%pri[j]==0){mu[i*pri[j]]=0;break;} else mu[i*pri[j]]=-mu[i]; } } F(i,1,50000) sum[i]=sum[i-1]+mu[i]; } inline int calc(int n,int m) { if (n>m) swap(n,m); int ans=0,pos; for(int i=1;i<=n;i=pos+1) { pos=min(n/(n/i),m/(m/i)); ans+=(sum[pos]-sum[i-1])*(n/i)*(m/i); } return ans; } int main() { getmu(); t=read(); while (t--) { a=read();b=read();c=read();d=read();k=read(); a--;c--; a/=k;b/=k;c/=k;d/=k; int ans=calc(a,c)+calc(b,d)-calc(a,d)-calc(b,c); printf("%d\n",ans); } return 0; }
