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HDU 1565 方格取數(1)(最大獨立點權覆蓋 | 最小割)

編輯:關於C++

該題是一道經典的求最大點權獨立集問題的題目 。 關於定義我就不多說了 。 說一下幾個重要的關系 :
1.最大流 = 最小割 = 最小點權覆蓋集 = sum - 最大點權獨立集 。

因此,該題其實還可以用最小割來做,思想是相同的 。

因為我們不能取相鄰的數字,所以很容易聯想到最小割 。

那麼我們可以先給每個格子編號1或2,形成二分圖。 然後由1到2連邊 。容量INF,與源點和匯點相連的容量為對應點的值。

這樣,求得的最大流也是最小割。 最大點權獨立集 = sum - 最小割 。

需要注意的是:上述的一切都是基於這樣一個事實:圖是二分圖 。因此我們必須要構建一個單向連通的圖,不能產生自環,這個在建圖的時候要重視,不然會莫名WA 。

細節參見代碼:

 

#include
using namespace std;
const int maxn = 20*20*2;
typedef long long ll;
const int INF = 1000000000;
int T,n,m,id1[55][55],id2[55][55];
struct Edge {
  int from, to, cap, flow;
};
bool operator < (const Edge& a, const Edge& b) {
  return a.from < b.from || (a.from == b.from && a.to < b.to);
}
struct Dinic {
  int n, m, s, t;
  vector old;
  vector edges;    // 邊數的兩倍
  vector G[maxn];   // 鄰接表,G[i][j]表示結點i的第j條邊在e數組中的序號
  bool vis[maxn];        // BFS使用
  int d[maxn];           // 從起點到i的距離
  int cur[maxn];         // 當前弧指針
void init(int n) {
    for(int i = 0; i < n; i++) G[i].clear();
    edges.clear();
}
void AddEdge(int from, int to, int cap) {
    edges.push_back((Edge){from, to, cap, 0});
    edges.push_back((Edge){to, from, 0, 0});
    m = edges.size();
    G[from].push_back(m-2);
    G[to].push_back(m-1);
}
bool BFS() {
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    queue Q;
    Q.push(s);
    vis[s] = 1;
    d[s] = 0;
    while(!Q.empty()) {
      int x = Q.front(); Q.pop();
      for(int i = 0; i < G[x].size(); i++) {
        Edge& e = edges[G[x][i]];
        if(!vis[e.to] && e.cap > e.flow) {
          vis[e.to] = 1;
          d[e.to] = d[x] + 1;
          Q.push(e.to);
        }
      }
    }
    return vis[t];
}
int DFS(int x, int a) {
    if(x == t || a == 0) return a;
    int flow = 0, f;
    for(int& i = cur[x]; i < G[x].size(); i++) {
      Edge& e = edges[G[x][i]];
      if(d[x] + 1 == d[e.to] && (f = DFS(e.to, min(a, e.cap-e.flow))) > 0) {
        e.flow += f;
        edges[G[x][i]^1].flow -= f;
        flow += f;
        a -= f;
        if(a == 0) break;
      }
    }
    return flow;
}
int Maxflow(int s, int t) {
    this->s = s; this->t = t;
    int flow = 0;
    while(BFS()) {
      memset(cur, 0, sizeof(cur));
      flow += DFS(s, INF);
    }
    return flow;
  }
}g;
int a[55][55];
int dx[] = {0,1,0,-1};
int dy[] = {1,0,-1,0};
int main() {
    while(~scanf(%d,&n)) {
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
                scanf(%d,&a[i][j]);
        int s[21][21] = {0}, sum = 0;
        s[1][1] = 1; g.init(n*n+5);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
                if(s[i][j] == 1) { //編號,建立二分圖
                    for(int k=0;k<4;k++) {
                        int x = dx[k]+i, y = dy[k]+j;
                        if(x < 1 || x > n || y < 1 || y > n || s[x][y] != 0) continue;
                        s[x][y] = 2;
                    }
                }
                else {
                    for(int k=0;k<4;k++) {
                        int x = dx[k]+i, y = dy[k]+j;
                        if(x < 1 || x > n || y < 1 || y > n || s[x][y] != 0) continue;
                        s[x][y] = 1;
                    }
                }
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++) {
                sum += a[i][j];
                if(s[i][j] == 1) { //由1集合的點向2集合的點連邊
                    int id = (i-1)*n + j ;
                    g.AddEdge(0,id,a[i][j]);//這樣,最小割的意義就是割去1集合的點或割去2中的某點
                    for(int k=0;k<4;k++) {
                        int x = dx[k]+i, y = dy[k]+j;
                        if(x < 1 || x > n || y < 1 || y > n ) continue;
                        g.AddEdge(id,(x-1)*n+y,INF);
                    }
                }
                else { //不可反向連邊,會形成環。
                    int id = (i-1)*n + j;
                    g.AddEdge(id,n*n+1,a[i][j]);
                }
            }
        printf(%d
,sum - g.Maxflow(0,n*n+1));
    }
    return 0;
}

 

 

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