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原碼, 反碼，補碼詳解
本篇文章解說了計算機的原碼, 反碼和補碼. 並且停止了深化探求了為何要運用反碼和補碼, 以及更進一步的論證了為何可以用反碼, 補碼的加法計算原碼的減法. 論證局部如有不對的中央請各位牛人幫助指正! 希望本文對大家學習計算機根底有所協助!
一. 機器數和真值
在學習原碼, 反碼和補碼之前, 需求先理解機器數和真值的概念.
1、機器數
一個數在計算機中的二進制表示方式, 叫做這個數的機器數。機器數是帶符號的，在計算機用一個數的最高位寄存符號, 負數為0, 正數為1.
比方，十進制中的數 +3 ，計算機字長為8位，轉換成二進制就是00000011。假如是 -3 ，就是 10000011 。
那麼，這裡的 00000011 和 10000011 就是機器數。
2、真值
由於第一位是符號位，所以機器數的方式值就不等於真正的數值。例如下面的有符號數 10000011，其最高位1代表負，其真負數值是 -3 而不是方式值131（10000011轉換成十進制等於131）。所以，為區別起見，將帶符號位的機器數對應的真負數值稱為機器數的真值。
例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = –000 0001 = –1
二. 原碼, 反碼, 補碼的根底概念和計算辦法.
在探求為何機器要運用補碼之前, 讓我們先理解原碼, 反碼和補碼的概念.關於一個數, 計算機要運用一定的編碼方式停止存儲. 原碼, 反碼, 補碼是機器存儲一個詳細數字的編碼方式.
1. 原碼
原碼就是符號位加上真值的相對值, 即用第一位表示符號, 其他位表示值. 比方假如是8位二進制:
[+1]原 = 0000 0001
[-1]原 = 1000 0001
第一位是符號位. 由於第一位是符號位, 所以8位二進制數的取值范圍就是:
[1111 1111 , 0111 1111]
即
[-127 , 127]
原碼是人腦最容易了解和計算的表示方式.
2. 反碼
反碼的表示辦法是:
負數的反碼是其自身
正數的反碼是在其原碼的根底上, 符號位不變，其他各個位取反.
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反
可見假如一個反碼表示的是正數, 人腦無法直觀的看出來它的數值. 通常要將其轉換成原碼再計算.
3. 補碼
補碼的表示辦法是:
負數的補碼就是其自身
正數的補碼是在其原碼的根底上, 符號位不變, 其他各位取反, 最後+1. (即在反碼的根底上+1)
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]補
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]補
關於正數, 補碼表示方式也是人腦無法直觀看出其數值的. 通常也需求轉換成原碼在計算其數值.
三. 為何要運用原碼, 反碼和補碼
在開端深化學習前, 我的學習建議是先"融會貫通"下面的原碼, 反碼和補碼的表示方式以及計算辦法.
如今我們知道了計算機可以有三種編碼方式表示一個數. 關於負數由於三種編碼方式的後果都相反:
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]補
所以不需求過多解釋. 但是關於正數:
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]補
可見原碼, 反碼和補碼是完全不同的. 既然原碼才是被人腦直接辨認並用於計算表示方式, 為何還會有反碼和補碼呢?
首先, 由於人腦可以知道第一位是符號位, 在計算的時分我們會依據符號位, 選擇對真值區域的加減. (真值的概念在本文最掃尾). 但是關於計算機, 加減乘數曾經是最根底的運算, 要設計的盡量復雜. 計算機區分"符號位"顯然會讓計算機的根底電路設計變得非常復雜! 於是人們想出了將符號位也參與運算的辦法. 我們知道, 依據運算規律減去一個負數等於加上一個正數, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以機器可以只要加法而沒有減法, 這樣計算機運算的設計就更復雜了.
於是人們開端探究 將符號位參與運算, 並且只保存加法的辦法. 首先來看原碼:
計算十進制的表達式: 1-1=0
1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2
假如用原碼表示, 讓符號位也參與計算, 顯然關於減法來說, 後果是不正確的.這也就是為何計算機外部不運用原碼表示一個數.
為理解決原碼做減法的問題, 呈現了反碼:
計算十進制的表達式: 1-1=0
1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0
發現用反碼計算減法, 後果的真值局部是正確的. 而獨一的問題其實就呈現在"0"這個特殊的數值上. 雖然人們了解上+0和-0是一樣的, 但是0帶符號是沒有任何意義的. 而且會有[0000 0000]原和[1000 0000]原兩個編碼表示0.
於是補碼的呈現, 處理了0的符號以及兩個編碼的問題:
1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]補 + [1111 1111]補 = [0000 0000]補=[0000 0000]原
這樣0用[0000 0000]表示, 而以前呈現問題的-0則不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:
(-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]補 + [1000 0001]補 = [1000 0000]補
-1-127的後果應該是-128, 在用補碼運算的後果中, [1000 0000]補 就是-128. 但是留意由於實踐上是運用以前的-0的補碼來表示-128, 所以-128並沒有原碼和反碼表示.(對-128的補碼表示[1000 0000]補算出來的原碼是[0000 0000]原, 這是不正確的)
運用補碼, 不只僅修復了0的符號以及存在兩個編碼的問題, 而且還可以多表示一個最低數. 這就是為什麼8位二進制, 運用原碼或反碼表示的范圍為[-127, +127], 而運用補碼表示的范圍為[-128, 127].
由於機器運用補碼, 所以關於編程中常用到的32位int類型, 可以表示范圍是: [-231, 231-1] 由於第一位表示的是符號位.而運用補碼表示時又可以多保管一個最小值.
四 原碼, 反碼, 補碼 再深化
計算機巧妙地把符號位參與運算, 並且將減法變成了加法, 面前包含了怎樣的數學原理呢?
將鐘表想象成是一個1位的12進制數. 假如以後時間是6點, 我希望將時間設置成4點, 需求怎樣做呢?我們可以:
1. 往回撥2個小時: 6 - 2 = 4
2. 往前撥10個小時: (6 + 10) mod 12 = 4
3. 往前撥10+12=22個小時: (6+22) mod 12 =4
2,3辦法中的mod是指取模操作, 16 mod 12 =4 即用16除以12後的余數是4.
所以鐘表往回撥(減法)的後果可以用往前撥(加法)替代!
如今的焦點就落在了如何用一個負數, 來替代一個正數. 下面的例子我們能覺得出來一些端倪, 發現一些規律. 但是數學是嚴謹的. 不能靠覺得.
首先引見一個數學中相關的概念: 同余
同余的概念
兩個整數a，b，若它們除以整數m所得的余數相等，則稱a，b關於模m同余
記作 a ≡ b (mod m)
讀作 a 與 b 關於模 m 同余。
舉例闡明:
4 mod 12 = 4
16 mod 12 = 4
28 mod 12 = 4
所以4, 16, 28關於模 12 同余.
正數取模
負數停止mod運算是很復雜的. 但是正數呢?
上面是關於mod運算的數學定義:
下面是截圖, "取下界"符號找不到如何輸出(word中粘貼過去後亂碼). 上面是運用"L"和"J"交換上圖的"取下界"符號:
x mod y = x - y L x / y J
下面公式的意思是:
x mod y等於 x 減去 y 乘上 x與y的商的下界.
以 -3 mod 2 舉例:
-3 mod 2
= -3 - 2xL -3/2 J
= -3 - 2xL-1.5J
= -3 - 2x(-2)
= -3 + 4 = 1
所以:
(-2) mod 12 = 12-2=10
(-4) mod 12 = 12-4 = 8
(-5) mod 12 = 12 - 5 = 7
開端證明
再回到時鐘的問題上:
回撥2小時 = 前撥10小時
回撥4小時 = 前撥8小時
回撥5小時= 前撥7小時
留意, 這裡發現的規律!
結合下面學到的同余的概念.實踐上:
(-2) mod 12 = 10
10 mod 12 = 10
-2與10是同余的.
(-4) mod 12 = 8
8 mod 12 = 8
-4與8是同余的.
間隔成功越來越近了. 要完成用負數替代正數, 只需求運用同余數的兩個定理:
反身性:
a ≡ a (mod m)
這個定理是很不言而喻的.
線性運算定理:
假如a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m) 那麼:
(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)
(2)a * c ≡ b * d (mod m)
假如想看這個定理的證明, 請看:http://baike.baidu.com/view/79282.htm
所以:
7 ≡ 7 (mod 12)
(-2) ≡ 10 (mod 12)
7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12)
如今我們為一個正數, 找到了它的負數同余數. 但是並不是7-2 = 7+10, 而是 7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12) , 即計算後果的余數相等.
接上去回到二進制的問題上, 看一下: 2-1=1的問題.
2-1=2+(-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原= [0000 0010]反 + [1111 1110]反
先到這一步, -1的反碼表示是1111 1110. 假如這裡將[1111 1110]以為是原碼, 則[1111 1110]原 = -126, 這裡將符號位除去, 即以為是126.
發現有如下規律:
(-1) mod 127 = 126
126 mod 127 = 126
即:
(-1) ≡ 126 (mod 127)
2-1 ≡ 2+126 (mod 127)
2-1 與 2+126的余數後果是相反的! 而這個余數, 正式我們的希冀的計算後果: 2-1=1
所以說一個數的反碼, 實踐上是這個數關於一個膜的同余數. 而這個膜並不是我們的二進制, 而是所能表示的最大值! 這就和鐘表一樣, 轉了一圈後總能找到在可表示范圍內的一個正確的數值!
而2+126很顯然相當於鐘表轉過了一輪, 而由於符號位是參與計算的, 正好和溢出的最高位構成正確的運算後果.
既然反碼可以將減法變成加法, 那麼如今計算機運用的補碼呢? 為什麼在反碼的根底上加1, 還能失掉正確的後果?
2-1=2+(-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原 = [0000 0010]補 + [1111 1111]補
假如把[1111 1111]當成原碼, 去除符號位, 則:
[0111 1111]原 = 127
其實, 在反碼的根底上+1, 只是相當於添加了膜的值:
(-1) mod 128 = 127
127 mod 128 = 127
2-1 ≡ 2+127 (mod 128)
此時, 表盤相當於每128個刻度轉一輪. 所以用補碼表示的運算後果最小值和最大值應該是[-128, 128].
但是由於0的特殊狀況, 沒有方法表示128, 所以補碼的取值范圍是[-128, 127]
自己不斷不擅長數學, 所以假如文中有不對的中央請大家多多包括, 多多指點!
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