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階乘相關的算法及其C++實現

編輯:更多關於編程

           有關階乘的算法,不外乎兩個方面:一是高精度計算;二是與數論相關。

      一、 高精度計算階乘

      這實際上是最沒有技術含量的問題,但是又會經常用到,所以還是得編寫,優化它的計算。

      首先看小於等於12的階乘計算(計算結果不會超出32位范圍):

      int factorial(int n) {

      if (n == 1 || n == 0)

      return 1;

      return factorial(n-1)*n;

      }

      這個遞歸程序簡單明了,非常直觀,然而一旦n > 12,則超過32位int型的范圍出現錯誤結果,所以上面這個遞歸程序僅適合n <= 12的階乘計算,為了計算較大n的階乘,需要將高精度乘法算法納入到階乘計算中來,高精度乘法過程可以如下簡單的描述:(其中A * B = C,A[0], B[0], C[0]分別存儲長度)

      for (i = 1; i <= A[0]; i++)

      for (j = 1; j <= B[0]; j++) {

      C[i+j-1] += A[i]*B[j];        // 當前i+j-1位對應項 + A[i] * B[j]

      C[i+j] += C[i+j-1]/10;       // 它的後一位 + 它的商(進位)

      C[i+j-1] %= 10;                // 它再取余即可

      }

      C[0] = A[0] + B[0];

      while (C[0] > 1 && C[C[0]] == 0) C[0]--;   // 去頭0,獲得實際C的長度

      有了這個高精度乘法之後,計算階乘就可以簡單的迭代進行:

      for (i = 2; i <= n; i++) {

      將i轉換成字符數組;

      執行高精度乘法:將上一次結果乘上i

      }

      二、 與數論有關

      由於階乘到後面越來越大,巧妙的利用數論求得一些有趣的數字(數值)等成為階乘算法的設計點,下面給出幾道相關的問題與分析:

      (1)   計算階乘末尾第一個非0數字:

      這是一個比較經典的問題,比較復雜的算法是利用一個艱難的數學公式,可惜我不會,從網上的資料學習中,整理出下面這個簡單易懂的算法:

      觀察n!,可以發現在乘的過程中,對於任意 n > 1,n!的末尾第一個非0數字都是偶數。我們只需保留最後一位非零數。當要乘的數中含有因數5時,我們可以把所有的因數5都當作8來乘。這是因為:

      …x2*5=…10(捨)或…60,最後一位非零數為6。而恰好2*8=16,末位為6。

      …x4*5=…70(捨)或…20,最後一位非零數為2。而恰好4*8=32,末位為2。

      …x6*5=…30(捨)或…80,最後一位非零數為8。而恰好6*8=48,末位為8。

      …x8*5=…90(捨)或…40,最後一位非零數為4。而恰好8*8=64,末位為4。

      (對於n > 1時,最後一位不會出現 1, 7, 3, 9,而永遠是2, 4, 6, 8的循環出現)

      因此,在迭代作乘法時,主要就是計算因子5的數量,同時可見因子5的個數以4為循環節(即只需要取它的數量對4取模)。那麼對於不同情況下的因子5的數量,可以通過res[5][4] = {{0,0,0,0}, {2,6,8,4}, {4,2,6,8}, {6,8,4,2}, {8,4,2,6}}來得到,使用nonzero[i]表示i的階乘的最後一位,那麼:

      如果t是偶數,則直接乘:nonzero[i] = (nonzero[i-1]*t)%10。

      否則nonzero[i] = res[((nonzero[i-1]*t)%10)/2][five];

      其中t是除掉所有因子5的結果,five為因子5數量對4的模。

      (2)。 階乘末尾有多少個0

      分析發現,實際上形成末尾0,就是因子5的數量,而計算1~n之間包含一個因子i的個數的簡單算法就是:

      cnt = 0; while (n) { n /= i; cnt += n; }

      因此,直接將i換成5,就可以得到因子5的數量,也即n!末尾0的數量。

      (3)。 返回階乘左邊的第二個數字

      簡單算法:用實數乘,超過100就除以10,最後取個位即可。因為整數部分的個位就是階乘結果左邊的第二個數字。相關題目:

      (4)。 判斷數值 m 是否可以整除 n!

      算法:使用素因子判斷法

      A. 首先直接輸出兩種特殊情況:

      m == 0 則 0肯定不會整除n!;

      n >= m 則 m肯定可以整除n!;

      B. 那麼就只剩最後一種情況:m > n,我們從m的最小素因子取起,設素因子為i那麼可以   求得m的素因子i的個數 nums1;再檢查閉區間 i ~ n 之間的數,一共包含多少個素因子i,就可以簡單的利用上面(2)中所介紹的數學公式進行計算得到nums2。如果nums2 < nums1,就表示1 ~ n中包含素因子的數量 < 除數m包含素因子i的數量,那麼m必然不能整除n!,置ok = false。

      C. 最後:如果 !ok or m > n or m == 0 則不能整除;否則可以整除

      (5)。數字N能否表示成若干個不相同的階乘的和:

      這裡可以選擇的階乘為:0! ~ 9!,實際上這一題與數論無關,與搜索有關。

      分析,由於可供選擇的階乘數量較少,直接可以利用DFS搜索來做:

      A. 首先將0 ~ 9的階乘作一個表A[10];再設置一個可以組成“和”的數組ans[N]。

      B. 深度優先搜索方法:

      search(n) {

      for(i = n; i <= 9; i++) {

      sum += A[i];      //求和

      如果sum在ans數組中不存在,則將sum插入到ans[]數組中

      search(n+1);

      sum -= A[i];       //回溯

      }

      }

      C. 最後對於輸入n,就在ans數組中查找是否存在n,如果存在,則表示n可以表示成不同的階乘和,否則不行。

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