【51NOD】1006 最長公共子序列Lcs（靜態規劃）。本站提示廣大學習愛好者：（【51NOD】1006 最長公共子序列Lcs（靜態規劃））文章只能為提供參考，不一定能成為您想要的結果。以下是【51NOD】1006 最長公共子序列Lcs（靜態規劃）正文
給出兩個字符串A B，求A與B的最長公共子序列（子序列不要求是延續的）。
比方兩個串為： abcicba abdkscab ab是兩個串的子序列，abc也是，abca也是，其中abca是這兩個字符串最長的子序列。 Input第1行：字符串A 第2行：字符串B (A,B的長度 <= 1000)Output
輸入最長的子序列，假如有多個，隨意輸入1個。Input示例
abcicba abdkscabOutput示例
abca
問題定義
• 子序列
– X=(A, B, C, B, D, B)
– Z=(B, C, D, B)是X的子序例
– W=(B, D, A)不是X的子序例
• 公共子序列
–Z是序列X與Y的公共子序列假如Z是X的
子序也是Y的子序列。
最長公共子序列（LCS）問題
輸出：X = (x1,x2,...,xn)，Y =
(y1,y2,...ym)
輸入：Z = X與Y的最長公共子序
列
最長公共子序列構造剖析
• 第i前綴
– 設X=(x1, x2, ..., xn)是一個序列，X的第i前
綴Xi
是一個序列，定義為Xi=(x1, ..., xi )
例. X=(A, B, D, C, A), X1=(A), X2=(A, B), X3=(A,
B, D)
優化子構造
定理1（優化子構造）設X=(x1, ..., xm)、
Y=(y1, ..., yn) 是兩個序列，Z=(z1, ..., zk)是X與Y的
LCS，我們有：
⑴ 假如xm=yn, 則zk=xm=yn, Zk-1
是Xm-1
和Yn-1
的
LCS，即，LCSXY = LCSXm-1Yn-1
+ <xm=yn>.
⑵ 假如xm.yn
，且zk.xm
，則Z是Xm-1
和Y的
LCS，即 LCSXY= LCSXm-1Y
⑶ 假如xm.yn,且zk.yn,則Z是X與Yn-1
的LCS，
即 LCSXY= LCSXYn-1
證明:
⑴. X=<x1, …, xm-1, xm>, Y=<y1, …, yn-1, xm>，則
LCSXY = LCSXm-1Yn-1
+ <xm=yn>.
設zkxm
，則可加xm=yn
到Z，失掉一個長為k+1的
X與Y的公共序列，與Z是X和Y的LCS矛盾。於是
zk=xm=yn
。
如今證明Zk-1
是Xm-1
與Yn-1
的LCS。顯然Zk-1
是Xm-
1
與Yn-1
的公共序列。我們需求證明Zk-1
是LCS。
設不然，則存在Xm-1
與Yn-1
的公共子序列W，W
的長大於k-1。添加xm=yn
到W，我們失掉一個長
大於k的X與Y的公共序列，與Z是LCS矛盾。於
是，Zk-1
是Xm-1
與Yn-1
的LCS.
⑵ X=<x1, …, xm-1, xm>, Y=<y1, …, yn-1, yn>，
xmyn
，zkxm
，則 LCSXY= LCSXm-1Y
由於zkxm
，Z是Xm-1
與Y的公共子序列。我
們來證Z是Xm-1
與Y的LCS。設Xm-1
與Y有一
個公共子序列W，W的長大於k, 則W也是X
與Y 的公共子序列，與Z是LCS矛盾。
⑶ 同⑵可證。
X和Y的LCS的優化解構造為
LCSXY=LCSXm-1Yn-1
+ <xm=yn> if xm=yn
LCSXY=LCSXm-1Y if xm≠yn, zk≠xm
LCSXY=LCSXYn-1 if xm≠yn, zk≠yn
樹立LCS長度的遞歸方程
• C[i, j] = Xi與Yj 的LCS的長度
• LCS長度的遞歸方程
C[i, j] = 0 if i=0 或 j=0
C[i, j] = C[i-1, j-1] + 1 if i, j>0 且 xi = yj
C[i, j] = Max(C[i, j-1], C[i-1, j]) if i, j>0 且 xi ≠ yj
自底向上計算LCS的長度
計算LCS長度的算法
– 數據構造
C[0:m,0:n]: C[i,j]是Xi
與Yj
的LCS的長度
B[1:m,1:n]: B[i,j] 是指針， 指向計算
C[i,j]時所選擇的子問題的優化解所對
應的C表的表項
LCS-length(X, Y)
m←length(X)；n←length(Y)；
For i←1 To m Do C[i,0]←0;
For j←1 To n Do C[0,j]←0;
For i←1 To m Do
For j←1 To n Do
If xi = yj
Then C[i,j]←C[i-1,j-1]+1；B[i,j]←“↖”;
Else If C[i-1,j]≥C[i,j-1]
Then C[i,j]≥C[i-1,j]; B[i,j]←“↑”;
Else C[i,j]≥C[i,j-1]; B[i,j]←“←”;
Return C and B.
結構優化解
• 根本思想
– 從B[m, n]開端按指針搜索
– 若B[i, j]=“↖”，則xi=yj
是LCS的一個元
素
– 如此找到的“LCS”是X與Y的LCS
Print-LCS(B, X, i, j)
IF i=0 or j=0 THEN Return;
IF B[i, j]=“↖”
THEN Print-LCS(B, X, i-1, j-1);
Print xi;
ELSE If B[i, j]=“↑”
THEN Print-LCS(B, X, i-1, j);
ELSE Print-LCS(B, X, i, j-1).
Print-LCS(B, X, length(X), length(Y))
可打印出X與Y的LCS。
1 /*功用：計算最優值
2 *參數：
3 * x:字符串x X:字符串x最大長度
4 * y:字符串y Y:字符串y最大長度
5 * b:標志數組
6 * xlen:字符串x的長度
7 * ylen:字符串y的長度
8 *前往值：最長公共子序列的長度
9 *
10 */
11 int Lcs_Length(string x, string y, int b[][Y+1],int xlen,int ylen)
12 {
13 int i = 0;
14 int j = 0;
15
16 int c[X+1][Y+1];
17 for (i = 0; i<=xlen; i++)
18 {
19 c[i][0]=0;
20 }
21 for (i = 0; i <= ylen; i++ )
22 {
23 c[0][i]=0;
24 }
25 for (i = 1; i <= xlen; i++)
26 {
27
28 for (j = 1; j <= ylen; j++)
29 {
30 if (x[i - 1] == y[j - 1])
31 {
32 c[i][j] = c[i-1][j-1]+1;
33 b[i][j] = 1;
34 }
35 else
36 if (c[i-1][j] > c[i][j-1])
37 {
38 c[i][j] = c[i-1][j];
39 b[i][j] = 2;
40 }
41 else
42 if(c[i-1][j] <= c[i][j-1])
43 {
44 c[i][j] = c[i][j-1];
45 b[i][j] = 3;
46 }
47
48 }
49 }
50
51 cout << "計算最優值效果圖如下所示：" << endl;
52 for(i = 1; i <= xlen; i++)
53 {
54 for(j = 1; j < ylen; j++)
55 {
56 cout << c[i][j] << " ";
57 }
58 cout << endl;
59 }
60
61 return c[xlen][ylen];
62 }
完好代碼
//只能打印一個最長公共子序列
#include <iostream>
using namespace std;
const int X = 1000, Y = 1000; //串的最大長度
char result[X+1]; //用於保管後果
int count=0; //用於保管公共最長公共子串的個數
int c[X+1][Y+1];
int b[X + 1][Y + 1];
/*功用：計算最優值
*參數：
* x:字符串x
* y:字符串y
* b:標志數組
* xlen:字符串x的長度
* ylen:字符串y的長度
*前往值：最長公共子序列的長度
*
*/
int Lcs_Length(string x, string y, int b[][Y+1],int xlen,int ylen)
{
int i = 0;
int j = 0;
//int c[X+1][Y+1];
for (i = 0; i<=xlen; i++)
{
c[i][0]=0;
}
for (i = 0; i <= ylen; i++ )
{
c[0][i]=0;
}
for (i = 1; i <= xlen; i++)
{
for (j = 1; j <= ylen; j++)
{
if (x[i - 1] == y[j - 1])
{
c[i][j] = c[i-1][j-1]+1;
b[i][j] = 1;
}
else
if (c[i-1][j] > c[i][j-1])
{
c[i][j] = c[i-1][j];
b[i][j] = 2;
}
else
if(c[i-1][j] <= c[i][j-1])
{
c[i][j] = c[i][j-1];
b[i][j] = 3;
}
}
}
/*
cout << "計算最優值效果圖如下所示：" << endl;
for(i = 1; i <= xlen; i++)
{
for(j = 1; j < ylen; j++)
{
cout << c[i][j] << " ";
}
cout << endl;
}
*/
return c[xlen][ylen];
}
void Display_Lcs(int i, int j, string x, int b[][Y+1],int current_Len)
{
if (i ==0 || j==0)
{
return;
}
if(b[i][j]== 1)
{
current_Len--;
result[current_Len]=x[i- 1];
Display_Lcs(i-1, j-1, x, b, current_Len);
}
else
{
if(b[i][j] == 2)
{
Display_Lcs(i-1, j, x, b, current_Len);
}
else
{
if(b[i][j]==3)
{
Display_Lcs(i, j-1, x, b, current_Len);
}
else
{
Display_Lcs(i-1,j,x,b, current_Len);
}
}
}
}
int main(int argc, char* argv[])
{
string x;
string y;
cin>>x>>y;
int xlen = x.length();
int ylen = y.length();
//int b[X + 1][Y + 1];
int lcs_max_len = Lcs_Length( x, y, b, xlen,ylen );
//cout << lcs_max_len << endl;
Display_Lcs( xlen, ylen, x, b, lcs_max_len );
//打印後果如下所示
for(int i = 0; i < lcs_max_len; i++)
{
cout << result[i];
}
cout << endl;
return 0;
}
算法復雜性：
• 時間復雜性
– 計算代價的時間
• (i, j)兩層循環,i循環m步, j循環n步
• O(mn)
– 結構最優解的時間: O(m+n)
– 總時間復雜性為：O(mn)
• 空降復雜性
– 運用數組C和B
– 需求空間O(mn)
