一、Akima 介紹

測量數據的內插已有各種方法，如線性內插、多項式內插、樣條函數插值等。但這裡的 Akima 插值法具有獨特的優點。

• 線性內插只顧及其附近兩點的影響；
• 多項式內插時，低階多項式由於參數較少，內插精度很低，而使用高階多項式又會使解不穩定，出現 “龍格” 現象，即內插函數在插值點與實際數據符合得很好，而在插值點外出現較大的偏差；
• 因此研究者又在多項式的基礎上發展了分片多項式，即樣條函數。樣條函數既保持了多項式運算簡單的特點，又避免了多項式階數較高時數值不穩定的缺點，因而得到了廣泛的應用。但在樣條函數插值中，確定任何一個小區間上的多項式，都要考慮所有數據點對它的影響。這不僅擴大了誤差傳播的范圍，還增加了不少工作量。有時其實只用內插點附近的幾個數據點作為控制點來內插。

Akima 插值法和三次樣條函數一樣考慮了要素導數值的效應，因而得到的整個插值曲線是光滑的。三次樣條函數插值法具有最小模、最佳最優逼近和收斂的特性，而 Aikma 插值法所得曲線比樣條函數插值曲線更光順，更自然。兩者的共同缺點是在強躍層處會出現凸起現象。在這種情況下，可用線性插值或優選三點拋物線插值取代它們的結果。Akima 插值法的另一個優點是：在工程應用中通常需要將觀測得到的一系列數據點內插成光滑的曲線，而當計算或測量的數據很大時，不可能也不必要等數據點全部提供後再內插，可利用 Akima 插值法邊提供數據點邊進行內插。

Akima 插值法詳細的數學推導、理論證明、應用，感興趣的話可以參考原始論文࿱