這題的數據量是5w， 也就是傳統意義上的n^2算法是不可取的。這裡就用到了FFT
FFT一般的作用就是使得多項式乘法的復雜度降到nlogn。利用FFT可以快速求出循環卷積。
那麼卷積又是什麼樣一個東西。
往往是在連續的情形,
兩個函數f(x),g(x)的卷積,是∫f(u)g(x-u)du
當然，證明卷積的一些性質並不困難，比如交換，結合等等，但是對於卷積運算的來處，初學者就不甚了了。
其實，從離散的情形看卷積，或許更加清楚，
對於兩個序列f[n],g[n],一般可以將其卷積定義為s[x]= ∑f[k]g[x-k]
卷積的一個典型例子,其實就是初中就學過的多項式相乘的運算,
比如(x*x+3*x+2)(2*x+5)
一般計算順序是這樣,
(x*x+3*x+2)(2*x+5)
= (x*x+3*x+2)*2*x+(x*x+3*x+2)*5
= 2*x*x*x+3*2*x*x+2*2*x+ 5*x*x+3*5*x+10
然後合並同類項的系數,
2 x*x*x
3*2+1*5 x*x
2*2+3*5 x
2*5
----------
2*x*x*x+11*x*x+19*x+10
實際上,從線性代數可以知道,多項式構成一個向量空間,其基底可選為
{1,x,x*x,x*x*x,...}
如此,則任何多項式均可與無窮維空間中的一個坐標向量相對應,
如,(x*x+3*x+2)對應於
(1 3 2),
(2*x+5)對應於
(2,5).
線性空間中沒有定義兩個向量間的卷積運算,而只有加法,數乘兩種運算,而實際上,多項式的乘法,就無法在線性空間中說明.可見線性空間的理論多麼局限了.
但如果按照我們上面對向量卷積的定義來處理坐標向量,
(1 3 2)*(2 5)
則有
2 3 1
_ _ 2 5
--------
2
2 3 1
_ 2 5
-----
6+5=11
2 3 1
2 5
-----
4+15 =19
_ 2 3 1
2 5
-------
10
或者說,
(1 3 2)*(2 5)=(2 11 19 10)
回到多項式的表示上來,
(x*x+3*x+2)(2*x+5)= 2*x*x*x+11*x*x+19*x+10
似乎很神奇,結果跟我們用傳統辦法得到的是完全一樣的.
換句話,多項式相乘,相當於系數向量的卷積.
其實,琢磨一下,道理也很簡單,
卷積運算實際上是分別求 x*x*x ,x*x,x,1的系數，也就是說，他把加法和求和雜合在一起做了。(傳統的辦法是先做乘法，然後在合並同類項的時候才作加法)
以x*x的系數為例，得到x*x，或者是用x*x乘5，或者是用3x乘2x,也就是
2 3 1
_ 2 5
-----
6+5=11
其實,這正是向量的內積.如此則,卷積運算,可以看作是一串內積運算.既然是一串內積運算，則我們可以試圖用矩陣表示上述過程。
[ 2 3 1 0 0 0]
[ 0 2 3 1 0 0]==A
[ 0 0 2 3 1 0]
[ 0 0 0 2 3 1]
[0 0 2 5 0 0]' == x
b= Ax=[ 2 11 19 10]'
采用行的觀點看Ax,則b的每行都是一個內積。
A的每一行都是序列[2 3 1]的一個移動位置。
---------
顯然,在這個特定的背景下,我們知道,卷積滿足交換,結合等定律,因為,眾所周知的,多項式的乘法滿足交換律,結合律.在一般情形下,其實也成立.
在這裡,我們發現多項式,除了構成特定的線性空間外,基與基之間還存在某種特殊的聯系,正是這種聯系,給予多項式空間以特殊的性質.
在學向量的時候，一般都會舉這個例子，甲有三個蘋果，5個橘子，乙有5個蘋果，三個橘子，則共有幾個蘋果，橘子。老師反復告誡，橘子就是橘子，蘋果就是蘋果，可不能混在一起。所以有(3,5)+(5,3)=(8,8).是的，橘子和蘋果無論怎麼加，都不會出什麼問題的，但是，如果考慮橘子乘橘子，或者橘子乘蘋果，這問題就不大容易說清了。
又如復數,如果僅僅定義復數為數對（a,b),僅僅在線性空間的層面看待C2,那就未免太簡單了。實際上，只要加上一條(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)
則情況馬上改觀，復變函數的內容多麼豐富多彩，是眾所周知的。
另外，回想信號處理裡面的一條基本定理,頻率域的乘積,相當於時域或空域信號的卷積.恰好跟這裡的情形完全對等.這後面存在什麼樣的隱態聯系,需要繼續參詳.
從這裡看,高等的卷積運算其實不過是一種初等的運算的抽象而已.中學學過的數學裡面，其實還蘊涵著許多高深的內容（比如交換代數）。溫故而知新,斯言不謬.
其實這道理一點也不復雜，人類繁衍了多少萬年了，但過去n多年，人們只知道男女媾精，乃能繁衍後代。精子，卵子的發現，生殖機制的研究，也就是最近多少年的事情。
孔子說，道在人倫日用中，看來我們應該多用審視的眼光看待周圍，乃至自身，才能知其然，而知其所以然。
----------------------------------------------------------完畢------------------------------
然後我們就知道卷積大概的作用了。
那麼FFT本來是信號裡面的東西，而我沒學過信號。 所以看的也不怎麼懂。
大概就是對離散的信號，先將其轉變為一些正弦函數，然後這些正弦函數疊加能構成這個離散信號，但是這些正弦函數易於處理。處理完之後就可以再轉變回來。
兩個過程叫做DFT和IDFT。
對於本道題。意義就很明顯了。
可以把兩個大整數相乘看做是多項式乘法。
最後求出各系數後再進位即可
代碼如下、
[cpp]
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <map>
#include <queue>
#include <set>
#include <vector>
using namespace std;
#define L(x) (1 << (x))
const double PI = acos(-1.0);
const int Maxn = 133015;
double ax[Maxn], ay[Maxn], bx[Maxn], by[Maxn];
char sa[Maxn/2],sb[Maxn/2];
int sum[Maxn];
int x1[Maxn],x2[Maxn];
int revv(int x, int bits)
{
int ret = 0;
for (int i = 0; i < bits; i++)
{
ret <<= 1;
ret |= x & 1;
x >>= 1;
}
return ret;
}
void fft(double * a, double * b, int n, bool rev)
{
int bits = 0;
while (1 << bits < n) ++bits;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
int j = revv(i, bits);
if (i < j)
swap(a[i], a[j]), swap(b[i], b[j]);
}
for (int len = 2; len <= n; len <<= 1)
{
int half = len >> 1;
double wmx = cos(2 * PI / len), wmy = sin(2 * PI / len);
if (rev) wmy = -wmy;
for (int i = 0; i < n; i += len)
{
double wx = 1, wy = 0;
for (int j = 0; j < half; j++)
{
double cx = a[i + j], cy = b[i + j];
double dx = a[i + j + half], dy = b[i + j + half];
double ex = dx * wx - dy * wy, ey = dx * wy + dy * wx;
a[i + j] = cx + ex, b[i + j] = cy + ey;
a[i + j + half] = cx - ex, b[i + j + half] = cy - ey;
double wnx = wx * wmx - wy * wmy, wny = wx * wmy + wy * wmx;
wx = wnx, wy = wny;
}
}
}
if (rev)
{
for (int i = 0; i < n; i++)
a[i] /= n, b[i] /= n;
}
}
int solve(int a[],int na,int b[],int nb,int ans[])
{
int len = max(na, nb), ln;
for(ln=0; L(ln)<len; ++ln);
len=L(++ln);
for (int i = 0; i < len ; ++i)
{
if (i >= na) ax[i] = 0, ay[i] =0;
else ax[i] = a[i], ay[i] = 0;
}
fft(ax, ay, len, 0);
for (int i = 0; i < len; ++i)
{
if (i >= nb) bx[i] = 0, by[i] = 0;
else bx[i] = b[i], by[i] = 0;
}
fft(bx, by, len, 0);
for (int i = 0; i < len; ++i)
{
double cx = ax[i] * bx[i] - ay[i] * by[i];
double cy = ax[i] * by[i] + ay[i] * bx[i];
ax[i] = cx, ay[i] = cy;
}
fft(ax, ay, len, 1);
for (int i = 0; i < len; ++i)
ans[i] = (int)(ax[i] + 0.5);
return len;
}
int main()
{
int l1,l2,l;
int i;
while(gets(sa))
{
gets(sb);
memset(sum, 0, sizeof(sum));
l1 = strlen(sa);
l2 = strlen(sb);
for(i = 0; i < l1; i++)
x1[i] = sa[l1 - i - 1]-'0';
for(i = 0; i < l2; i++)
x2[i] = sb[l2-i-1]-'0';
l = solve(x1, l1, x2, l2, sum);
for(i = 0; i<l || sum[i] >= 10; i++) // 進位
{
sum[i + 1] += sum[i] / 10;
sum[i] %= 10;
}
l = i;
while(sum[l] <= 0 && l>0) l--; // 檢索最高位
for(i = l; i >= 0; i--) putchar(sum[i] + '0'); // 倒序輸出
putchar('\n');
}
return 0;
}
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <map>
#include <queue>
#include <set>
#include <vector>
using namespace std;
#define L(x) (1 << (x))
const double PI = acos(-1.0);
const int Maxn = 133015;
double ax[Maxn], ay[Maxn], bx[Maxn], by[Maxn];
char sa[Maxn/2],sb[Maxn/2];
int sum[Maxn];
int x1[Maxn],x2[Maxn];
int revv(int x, int bits)
{
int ret = 0;
for (int i = 0; i < bits; i++)
{
ret <<= 1;
ret |= x & 1;
x >>= 1;
}
return ret;
}
void fft(double * a, double * b, int n, bool rev)
{
int bits = 0;
while (1 << bits < n) ++bits;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
int j = revv(i, bits);
if (i < j)
swap(a[i], a[j]), swap(b[i], b[j]);
}
for (int len = 2; len <= n; len <<= 1)
{
int half = len >> 1;
double wmx = cos(2 * PI / len), wmy = sin(2 * PI / len);
if (rev) wmy = -wmy;
for (int i = 0; i < n; i += len)
{
double wx = 1, wy = 0;
for (int j = 0; j < half; j++)
{
double cx = a[i + j], cy = b[i + j];
double dx = a[i + j + half], dy = b[i + j + half];
double ex = dx * wx - dy * wy, ey = dx * wy + dy * wx;
a[i + j] = cx + ex, b[i + j] = cy + ey;
a[i + j + half] = cx - ex, b[i + j + half] = cy - ey;
double wnx = wx * wmx - wy * wmy, wny = wx * wmy + wy * wmx;
wx = wnx, wy = wny;
}
}
}
if (rev)
{
for (int i = 0; i < n; i++)
a[i] /= n, b[i] /= n;
}
}
int solve(int a[],int na,int b[],int nb,int ans[])
{
int len = max(na, nb), ln;
for(ln=0; L(ln)<len; ++ln);
len=L(++ln);
for (int i = 0; i < len ; ++i)
{
if (i >= na) ax[i] = 0, ay[i] =0;
else ax[i] = a[i], ay[i] = 0;
}
fft(ax, ay, len, 0);
for (int i = 0; i < len; ++i)
{
if (i >= nb) bx[i] = 0, by[i] = 0;
else bx[i] = b[i], by[i] = 0;
}
fft(bx, by, len, 0);
for (int i = 0; i < len; ++i)
{
double cx = ax[i] * bx[i] - ay[i] * by[i];
double cy = ax[i] * by[i] + ay[i] * bx[i];
ax[i] = cx, ay[i] = cy;
}
fft(ax, ay, len, 1);
for (int i = 0; i < len; ++i)
ans[i] = (int)(ax[i] + 0.5);
return len;
}
int main()
{
int l1,l2,l;
int i;
while(gets(sa))
{
gets(sb);
memset(sum, 0, sizeof(sum));
l1 = strlen(sa);
l2 = strlen(sb);
for(i = 0; i < l1; i++)
x1[i] = sa[l1 - i - 1]-'0';
for(i = 0; i < l2; i++)
x2[i] = sb[l2-i-1]-'0';
l = solve(x1, l1, x2, l2, sum);
for(i = 0; i<l || sum[i] >= 10; i++) // 進位
{
sum[i + 1] += sum[i] / 10;
sum[i] %= 10;
}
l = i;
while(sum[l] <= 0 && l>0) l--; // 檢索最高位
for(i = l; i >= 0; i--) putchar(sum[i] + '0'); // 倒序輸出
putchar('\n');
}
return 0;
}
然後模板來一發。
[cpp]
#define L(x) (1 << (x))
const double PI = acos(-1.0);
const int Maxn = 133015;
double ax[Maxn], ay[Maxn], bx[Maxn], by[Maxn];
int revv(int x, int bits)
{
int ret = 0;
for (int i = 0; i < bits; i++)
{
ret <<= 1;
ret |= x & 1;
x >>= 1;
}
return ret;
}
void fft(double * a, double * b, int n, bool rev)
{
int bits = 0;
while (1 << bits < n) ++bits;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
int j = revv(i, bits);
if (i < j)
swap(a[i], a[j]), swap(b[i], b[j]);
}
for (int len = 2; len <= n; len <<= 1)
{
int half = len >> 1;
double wmx = cos(2 * PI / len), wmy = sin(2 * PI / len);
if (rev) wmy = -wmy;
for (int i = 0; i < n; i += len)
{
double wx = 1, wy = 0;
for (int j = 0; j < half; j++)
{
double cx = a[i + j], cy = b[i + j];
double dx = a[i + j + half], dy = b[i + j + half];
double ex = dx * wx - dy * wy, ey = dx * wy + dy * wx;
a[i + j] = cx + ex, b[i + j] = cy + ey;
a[i + j + half] = cx - ex, b[i + j + half] = cy - ey;
double wnx = wx * wmx - wy * wmy, wny = wx * wmy + wy * wmx;
wx = wnx, wy = wny;
}
}
}
if (rev)
{
for (int i = 0; i < n; i++)
a[i] /= n, b[i] /= n;
}
}
int solve(int a[],int na,int b[],int nb,int ans[]) //兩個數組求卷積,有時ans數組要開成long long
{
int len = max(na, nb), ln;
for(ln=0; L(ln)<len; ++ln);
len=L(++ln);
for (int i = 0; i < len ; ++i)
{
if (i >= na) ax[i] = 0, ay[i] =0;
else ax[i] = a[i], ay[i] = 0;
}
fft(ax, ay, len, 0);
for (int i = 0; i < len; ++i)
{
if (i >= nb) bx[i] = 0, by[i] = 0;
else bx[i] = b[i], by[i] = 0;
}
fft(bx, by, len, 0);
for (int i = 0; i < len; ++i)
{
double cx = ax[i] * bx[i] - ay[i] * by[i];
double cy = ax[i] * by[i] + ay[i] * bx[i];
ax[i] = cx, ay[i] = cy;
}
fft(ax, ay, len, 1);
for (int i = 0; i < len; ++i)
ans[i] = (int)(ax[i] + 0.5);
return len;
}
int solve(long long a[], int na, int ans[]) //自己跟自己求卷積,有時候ans數組要開成long long
{
int len = na, ln;
for(ln = 0; L(ln) < na; ++ln);
len=L(++ln);
for(int i = 0; i < len; ++i)
{
if (i >= na) ax[i] = 0, ay[i] = 0;
else ax[i] = a[i], ay[i] = 0;
}
fft(ax, ay, len, 0);
for(int i=0; i<len; ++i)
{
double cx = ax[i] * ax[i] - ay[i] * ay[i];
double cy = 2 * ax[i] * ay[i];
ax[i] = cx, ay[i] = cy;
}
fft(ax, ay, len, 1);
for(int i=0; i<len; ++i)
ans[i] = ax[i] + 0.5;
return len;
}
#define L(x) (1 << (x))
const double PI = acos(-1.0);
const int Maxn = 133015;
double ax[Maxn], ay[Maxn], bx[Maxn], by[Maxn];
int revv(int x, int bits)
{
int ret = 0;
for (int i = 0; i < bits; i++)
{
ret <<= 1;
ret |= x & 1;
x >>= 1;
}
return ret;
}
void fft(double * a, double * b, int n, bool rev)
{
int bits = 0;
while (1 << bits < n) ++bits;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
int j = revv(i, bits);
if (i < j)
swap(a[i], a[j]), swap(b[i], b[j]);
}
for (int len = 2; len <= n; len <<= 1)
{
int half = len >> 1;
double wmx = cos(2 * PI / len), wmy = sin(2 * PI / len);
if (rev) wmy = -wmy;
for (int i = 0; i < n; i += len)
{
double wx = 1, wy = 0;
for (int j = 0; j < half; j++)
{
double cx = a[i + j], cy = b[i + j];
double dx = a[i + j + half], dy = b[i + j + half];
double ex = dx * wx - dy * wy, ey = dx * wy + dy * wx;
a[i + j] = cx + ex, b[i + j] = cy + ey;
a[i + j + half] = cx - ex, b[i + j + half] = cy - ey;
double wnx = wx * wmx - wy * wmy, wny = wx * wmy + wy * wmx;
wx = wnx, wy = wny;
}
}
}
if (rev)
{
for (int i = 0; i < n; i++)
a[i] /= n, b[i] /= n;
}
}
int solve(int a[],int na,int b[],int nb,int ans[]) //兩個數組求卷積,有時ans數組要開成long long
{
int len = max(na, nb), ln;
for(ln=0; L(ln)<len; ++ln);
len=L(++ln);
for (int i = 0; i < len ; ++i)
{
if (i >= na) ax[i] = 0, ay[i] =0;
else ax[i] = a[i], ay[i] = 0;
}
fft(ax, ay, len, 0);
for (int i = 0; i < len; ++i)
{
if (i >= nb) bx[i] = 0, by[i] = 0;
else bx[i] = b[i], by[i] = 0;
}
fft(bx, by, len, 0);
for (int i = 0; i < len; ++i)
{
double cx = ax[i] * bx[i] - ay[i] * by[i];
double cy = ax[i] * by[i] + ay[i] * bx[i];
ax[i] = cx, ay[i] = cy;
}
fft(ax, ay, len, 1);
for (int i = 0; i < len; ++i)
ans[i] = (int)(ax[i] + 0.5);
return len;
}
int solve(long long a[], int na, int ans[]) //自己跟自己求卷積,有時候ans數組要開成long long
{
int len = na, ln;
for(ln = 0; L(ln) < na; ++ln);
len=L(++ln);
for(int i = 0; i < len; ++i)
{
if (i >= na) ax[i] = 0, ay[i] = 0;
else ax[i] = a[i], ay[i] = 0;
}
fft(ax, ay, len, 0);
for(int i=0; i<len; ++i)
{
double cx = ax[i] * ax[i] - ay[i] * ay[i];
double cy = 2 * ax[i] * ay[i];
ax[i] = cx, ay[i] = cy;
}
fft(ax, ay, len, 1);
for(int i=0; i<len; ++i)
ans[i] = ax[i] + 0.5;
return len;
}
